Question

Determine as equações paramétricas da reta que passa por A (2,1,-1) e é simultaneamente ortogonal às retas
$r: \frac{x}{2} = \frac{y-1}{3} =-z$ e $\left \{ {{x+2y-z-1=0} \atop {x+y+1=0}} \right.$ .

Answer 1

$r:~\dfrac{x}{2}=\dfrac{y-1}{3}=\dfrac{z}{-1}$

Temos acima as equações simétricas da reta $r,$ de onde tiramos diretamente as coordenadas do vetor diretor de $r:$

$\overrightarrow{\mathbf{v}}\!_r=(2,\,3,\,-1)$

______

$s:~\left\{\! \begin{array}{l} x+2y-z-1=0\\ x+y+1=0 \end{array} \right.$

A reta $s$ é descrita como a interseção entre dois planos, cujas equações já estão na forma geral. As coordenadas dos vetores normais são os respectivos coeficientes das variáveis $x,\,y,\,z.$

• Vetor normal ao plano $\pi_1$ de equação $x+2y-z-1=0:$

$\overrightarrow{\mathbf{n}}\!_1=(1,\,2,\,-1)$


• Vetor normal ao plano $\pi_2$ de equação $x+y+1=0:$

$\overrightarrow{\mathbf{n}}\!_2=(1,\,1,\,0)$


O vetor diretor de $s$ é simultaneamente ortogonal a $\overrightarrow{\mathbf{n}}\!_1$ e $\overrightarrow{\mathbf{n}}\!_2.$


Então, podemos obter este vetor via produto vetorial:

$\overrightarrow{\mathbf{n}}\!_1\times \overrightarrow{\mathbf{n}}\!_2=(1,\,2,\,-1)\times (1,\,1,\,0)\\\\\\\ =\left|\begin{array}{ccc}\overrightarrow{\mathbf{i}}&\overrightarrow{\mathbf{j}}&\overrightarrow{\mathbf{k}}\\ 1&2&-1\\1&1&0 \end{array}\right|\\\\\\\\ =\left|\begin{array}{cc}2&-1\\1&0\end{array}\right|\overrightarrow{\mathbf{i}}-\left|\begin{array}{cc}1&-1\\1&0\end{array}\right|\overrightarrow{\mathbf{j}}+\left|\begin{array}{cc}1&2\\1&1\end{array}\right|\overrightarrow{\mathbf{k}}$


$=\big(2\cdot 0-1\cdot (-1)\big)\overrightarrow{\mathbf{i}}-\big(1\cdot 0-1\cdot (-1)\big)\overrightarrow{\mathbf{j}}+(1\cdot 1-1\cdot 2)\overrightarrow{\mathbf{k}}\\\\\\ =1\overrightarrow{\mathbf{i}}-1\overrightarrow{\mathbf{j}}+(-1)\overrightarrow{\mathbf{k}}\\\\\\ =(1,\,-1,\,-1)$


Então, podemos tomar como vetor diretor para $s$

$\overrightarrow{\mathbf{v}}\!_s=(1,\,-1,\,-1)$

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Estamos procurando as equações paramétricas para uma reta $t,$ que passa por $A(2,\,1,\,-1),$ e cuja direção é simultaneamente ortogonal aos vetores $\overrightarrow{\mathbf{v}}\!_r$ e $\overrightarrow{\mathbf{v}}\!_s.$


Então, podemos encontrar um vetor diretor para $t,$ via produto vetorial também:

$\overrightarrow{\mathbf{v}}\!_r\times \overrightarrow{\mathbf{v}}\!_s=(2,\,3,\,-1)\times(1,\,-1,\,-1)\\\\\\ =\left|\begin{array}{ccc} \overrightarrow{\mathbf{i}}&\overrightarrow{\mathbf{j}}&\overrightarrow{\mathbf{k}}\\ 2&3&-1\\ 1&-1&-1 \end{array}\right|\\\\\\\\ =\left|\begin{array}{cc}3&-1\\-1&-1 \end{array}\right|\overrightarrow{\mathbf{i}}-\left|\begin{array}{cc}2&-1\\1&-1 \end{array}\right|\overrightarrow{\mathbf{j}}+\left|\begin{array}{cc}2&3\\1&-1 \end{array}\right|\overrightarrow{\mathbf{k}}$


$=\big(3\cdot (-1)-(-1)\cdot (-1)\big)\overrightarrow{\mathbf{i}}-\big(2\cdot (-1)-1\cdot (-1)\big)\overrightarrow{\mathbf{j}}+\big(2\cdot (-1)-1\cdot 3\big)\overrightarrow{\mathbf{k}}\\\\\\ =(-3-1)\overrightarrow{\mathbf{i}}-\big(-2-(-1)\big)\overrightarrow{\mathbf{j}}+(-2-3)\overrightarrow{\mathbf{k}}\\\\\\ =(-4)\overrightarrow{\mathbf{i}}-(-2+1)\overrightarrow{\mathbf{j}}+(-5)\overrightarrow{\mathbf{k}}\\\\\\ =(-4)\overrightarrow{\mathbf{i}}+1\overrightarrow{\mathbf{j}}+(-5)\overrightarrow{\mathbf{k}}\\\\\\ =(-4,\,1,\,-5)$


Então, tomamos como vetor diretor de $t$

$\overrightarrow{\mathbf{v}}\!_t=(-4,\,1,\,-5)$

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Equações paramétricas para a reta $t$ procurada:

$t:~X=A+\lambda\,\overrightarrow{\mathbf{v}}\!_t\\\\ t:~(x,\,y,\,z)=(2,\,1,\,-1)+\lambda\,(-4,\,1,\,-5)\\\\\\ t:~\left\{ \!\begin{array}{l} x=2-4\lambda\\ y=1+\lambda\\ z=-1-5\lambda \end{array} \right.\quad\quad\quad\text{com }\lambda\in\mathbb{R}.$


Bons estudos! :-)