Question

faça o estudo do sinal das funções de segundo grau dadas por f(x)=-x² +2x-1

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Juliana, que no estudo dos sinais de uma equação do 2º grau, da forma f(x) = ax² + bx + c, com raízes iguais a x' e x'' teremos que ver os seguintes aspectos:

i) a função f(x) terá o mesmo sinal do termo "a" (o termo "a" é o coeficiente de x²) para valores de "x" extrarraízes (fora das raízes);
ii) a função f(x) será igual a zero para valores de "x" iguais às raízes. Note que isso é evidente, pois toda raiz zera a equação da qual ela é raiz;
iii) a função f(x) terá sinal contrário ao sinal de "a" para valores de "x" intrarraízes (entre as raízes).

Com base, pois, no que vimos aí em cima, então vamos estudar a variação de sinais da função da sua questão, que é esta:

f(x) = - x² + 2x - 1

Note que se você aplicar Bháskara na função acima, vai encontrar que as suas duas raízes serão:

x' = x'' = 1 --- (ou seja, a função tem duas raízes e ambas iguais a "1").

Agora vamos estudar a variação de sinais desta equação:

f(x) = -x²+2x-1 .. - - - - - - - - - - - - (1)- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Assim, conforme vimos no gráfico acima temos que:

f(x) = 0, para valores de "x" iguais à raiz (ou seja, para x = 1)
f(x) < 0, para valores de "x" menores que a raiz (ou seja, para x < 1) ou para valores de "x" maiores que a raiz (ou seja, para x > 1).

Note que o termo "a" (que é o coeficiente de x²) é negativo. Então, para valores de "x" extrarraízes (fora das raízes) a função f(x) terá o MESMO sinal de "a". Como o termo "a" é negativo, então ela será negativa para qualquer valor de "x" fora das raízes (extrarraízes). E, claro, será igual a zero para valores de "x" igual à raiz (lembre-se: toda raiz zera a equação da qual ela é raiz).

É isso aí.
Deu pra entender bem:

OK?
Adjemir.