Question

(UFMS) Sendo An,3 = 3(n–1), então, n é:
a) 3 ou –1
b) 1 ou –3
c) 3 d) –1
e) –3 ou –1

Answer 1

Calculando $A_{n,\,3}:$

$A_{n,\,3}=\dfrac{n!}{(n-3)!}\\\\\\ A_{n,\,3}=\dfrac{n(n-1)(n-2)(n-3)!}{(n-3)!}\\\\\\ A_{n,\,3}=n(n-1)(n-2)~~~~~~\text{para }n\ge 3~\text{ e }~n\in\mathbb{N}$


Sendo assim,

$A_{n,\,3}=3(n-1)\\\\ n(n-1)(n-2)=3(n-1)\\\\ n(n-1)(n-2)-3(n-1)=0$


Colocando $(n-1)$ em evidência,

$(n-1)\cdot \big(n(n-2)-3\big)=0\\\\ (n-1)\cdot (n^2-2n-3)=0$


Podemos decompor o fator do 2º grau usando fatoração por agrupamento. Subtraia e some $n$ lá dentro:

$(n-1)\cdot (n^2-2n-n+n-3)=0\\\\ (n-1)\cdot (n^2-3n+n-3)=0\\\\ (n-1)\cdot \big(n(n-3)+1(n-3)\big)=0$


Colocando $(n-3)$ em evidência,

$(n-1)(n-3)(n+1)=0\\\\ \begin{array}{rcccl} n-1=0&~\text{ ou }~&n-3=0&~\text{ ou }~&n+1=0\\\\ n=1&~\text{ ou }~&n=3&~\text{ ou }~&n=-1 \end{array}$


Como $n$ é natural $\ge 3,$ só nos interessa

$n=3$

sendo esta a única solução da equação dada.


Resposta: alternativa c) 3.


Bons estudos! :-)

Answer 2

Resposta:

C) 3

Explicação passo a passo:

n!/(n-3)!= 3(n-1)

n(n-1)x(n-2)x(n-3)!/(n-3)!= 3(n-1)
Corta-se (n-3) do numerador com o (n-3) do denominador, ficando:
n(n-1)x(n-2)= 3(n-1)
Corta-se o (n-1) do lado esquerdo da equação com o (n-1) do lado direito:
n(n-2)= 3
n^2- 2n=3
passa-se o 3 para o lado esquerdo da equação, de forma a aparecer uma equação de segundo grau:
n^2- 2n - 3=0
x¹= 3
x²= -1
só é aceito números positivos, solução aceita igual a 3.