Num torneio de futebol, o vencedor de cada partida ganha 3 pontos e o perdedor fica com 0 ponto. Em caso de empate, cada time fica com 1 ponto. Um time jogou 38 partidas e ganhou 80 pontos. No máximo, quantas partidas esse time perdeu?
(A) 12 (B) 11 (C) 10 (D) 9 (E) 8
Respostas
( joga demais esse time)
Esse time perdeu, no máximo, 10 partidas.
Sistemas lineares indeterminados
Um sistema linear é indeterminado quando tem infinitas soluções.
Imagine que temos três variáveis:
- v: quantidade de vitórias
- e: quantidade de empates
- d: quantidade de derrotas
Como o time jogou 38 partidas, temos:
v + e + d = 38
Como ganhou 80 pontos, temos:
3v + e = 80
Se isolarmos o e, temos que
e = 80 - 3v
Substituindo na outra equação ficamos com:
v + 80 - 3v + d = 38
-2v + d = -42
2v - d = 42
Essa é uma equação com infinitas soluções nos reais. Como estamos trabalhando nos naturais, temos uma quantidade limitada de possibilidades. Basta identificar um padrão.
- Não tem como ter mais que 21 vitórias pois teríamos uma quantidade negativa de derrotas.
- Se tiver 21 vitórias, terá 0 derrotas e 17 empates.
- Se tiver 22 vitórias, terá 2 derrotas e 14 empates.
- Se tiver 23 vitórias, terá 4 derrotas e 11 empates.
- ...
Assim, as vitórias aumentarão de uma em uma, as derrotas de uma em uma e os empates cairão de três em três. Mas teremos uma hora em que os empates não poderão mais cair sem entrar nos negativos.
Encontraremos esse valor, dividindo a quantidade de pontos por 3, na tentativa de achar o máximo de vitórias, pois 3v = 80 - e.
80 ÷ 3 = 26 com resto 2
Assim teríamos 26 vitórias e 2 empates. Para completar as 38 partidas, o time teve ainda:
38 - 26 - 2 = 38 - 28 = 10 derrotas
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