Question

determinar a função quadratica cujo grafico passa pelos pontos (0,2); (-1/2,0) e (2,0)

Answer 1

função quadratica...uma função do segundo grau
do tipo: $Y=a x^{2} +bx+c$

ela passa pelos pontos
$ponto (x;y)\\\\\\O=(0,2)\\\\P=( \frac{-1}{2} ;0) \\\\Q= (2,0)$

O,R,Q são os nomes que eu dei para os pontos..só pra ficar mais organizado


usando o ponto O 
quando x = 0 ..y=2

substituindo x por 0 

$y=ax^2+bx+c\\\\2=a*0^2+b*0+c\\\\2=c$

esse é o valor do coeficiente C

sabemos que o coeficiente C é dado pelo produto das raízes
e observando os pontos R e Q
esses são os pontos da raíz da função
porque nestes pontos y =0

o produto das raízes é dado por
$P = \frac{c}{a}$

P = produto das raízes x '*x''
c = coeficiente c
a = coeficiente apl


as raízes são -1/2 e 2
substituindo os valores

$\frac{-1}{2} *2= \frac{2}{a} \\\\\ -1= \frac{2}{a} \\\\-1*a=2\\\\a= \frac{2}{-1} \\\\a=-2$

esse é o valor do coeficiente (a)

agora temos
$y=-2x^2+bx+2$

pra descobrir o valor do b
é só substituir y , e x  
pelo ponto R ou Q

vou usar o ponto Q

$0=-2*2^2+b*2+2\\\\0=-2*4 +2b +2\\\\0=-8+2b+2\\\\0=-6+2b\\\\ \frac{6}2} =b\\\\3=b$

então a função é
$f(x)=ax^2=bx+c\\\\\boxed{f(x)=-2x^2+3x+2}$