Question

Na situação do mapa abaixo, deseja-se construir uma estrada que ligue a cidade de A à estrada BC, com o menor comprimento possivel. Essa estada medirá, em quilômetros:
A) 24
B) 28
C) 30
D) 32

Answer 1

André,

Para obter a menor distância entre a cidade A e a estrada BC, devemos traçar uma perpendicular do vértice A ao lado BC, onde vamos obter um ponto que vamos chamar de H. Como ABC é um triângulo retângulo, AH será a altura do triângulo retângulo, e também a distância que é procurada.

Para obter esta medida, nós vamos usar uma propriedade que é obtida a partir da semelhança entre os triângulos BHA e AHC:

cateto maior/cateto menor = cateto maior/cateto menor

BH/AH = AH/HC

AH² = BH × HC [1]

A propriedade que está escrita acima é: "Em um triângulo retângulo, a altura é a média geométrica entre as projeções dos catetos sobre a hipotenusa."

Como nós não conhecemos nenhum dos valores acima, vamos começar obtendo a medida da projeção do cateto AB sobre a hipotenusa, que é o segmento BH:

Para resolver a isto, vamos usar uma outra propriedade dos triângulos retângulos:
"Em um triângulo retângulo, um cateto é a média geométrica entre a hipotenusa e a sua projeção sobre a hipotenusa".

Esta propriedade é obtida do fato que os triângulos ABH e CBA são semelhantes, e nós podemos escrever que:

hipotenusa/cateto = hipotenusa/cateto

AB/BH = BC/AB
AB² = BH × BC
40² = BH × 50
BH = 1600 ÷ 50

BH = 32 km

Como BH é igual a 32 e BC é iguala 50, HC é igual a 50 - 32 = 18 km

Como agora nós conhecemos as duas projeções dos catetos sobre a hipotenusa, vamos substituir estes valores na relação que nós obtivemos lá em cima, em [1]:

AH² = BH × HC
AH² = 32 × 18
AH = √576

AH = 24 km

R.: A alternativa correta é a letra a) 24