Question

8º) Qual a solução do sistema
{ X+ 2Y - Z = -1
3x + y + z = 5
2x - y = 2

Answer 1

Vamos lá.

Pede-se para resolver o seguinte sistema:

{x + 2y - z = - 1      . (I)
{3x + y + z = 5      . (II)
{2x - y = 2            . (III)

Veja: como a expressão (III) só tem duas incógnitas, então vamos procurar isolar uma delas. Assim, repetindo a expressão (III), teremos:

2x - y = 2 ---- isolando "y", teremos:
- y = 2 - 2x ----- multiplicando ambos os membros por (-1), teremos:
y = -2 + 2x ---- ou, o que é a mesma coisa:
y = 2x - 2      . (IV).

Agora vamos substituir "y" por "2x-2" nas expressões (I) e (II). Assim, teremos:

i) Substituindo "y" por "2x-2" na expressão (I), que é esta:

x + 2y - z = - 1 ---- substituindo-se "y" por "2x-2", teremos:
x + 2*(2x-2) - z = - 1 ---- desenvolvendo, temos:
x + 4x - 4 - z = - 1 ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
5x - z - 4 = - 1 ---- passando "-4" para o 2º membro, teremos:
5x - z = - 1 + 4
5x - z = 3      . (V)

ii) Substituindo "y" por "2x-2" na expressão I(I), que é esta:

3x + y + z = 5 ---- substituindo-se "y" por "2x-2", teremos:
3x + 2x-2 + z = 5 --- reduzindo os termos semelhantes:
5x + z - 2 = 5 ---- passando "-2" para o 2º membro:
5x + z = 5 + 2
5x + z = 7      . (VI)

iii) Agora veja que ficamos com um sistema formado apenas por duas incógnitas, que são as expressões (IV), (V) e (VI) e que são estas:

y = 2x-2    . (IV)
5x - z = 3    . (V)
5x + z = 7    . (VI)

Agora faremos o seguinte: somaremos, membro a membro, a expressão (V) com a expressão (VI). Assim:

5x - z = 3 --- [esta é a expressão (V) normal]
5x+z = 7 --- [esta é a expressão (VI) normal]
------------------- somando membro a membro, teremos:
10x+0 = 10 --- ou apenas:
10x = 10
x = 10/10
x = 1 <--- Este é o valor de "x".

Agora que já temos o valor de "x", vamos encontrar o valor de "y". Para isso, iremos na expressão (IV), que é esta:

y = 2x - 2 ----- substituindo-se "x" por "1", teremos:
y = 2*1 - 2
y = 2 - 2
y = 0  <--- Este é o valor de "y".

Finalmente, agora vamos encontrar o valor de "z". Para isso,poderemos ir, indistintamente, nas expressões (V) ou (VI) e, em quaisquer uma delas, poderemos substituir o "x' por "1" e encontraremos o valor de "z". Vamos na expressão (VI) que é esta:

5x + z = 7 ---- substituindo-se "x" por "1", teremos:
5*1 + z = 6
5 + z = 7 ---- passando "5" para o 2º membro, temos:
z = 7 - 5
z = 2 <--- Este é o valor de "z".

iv) Resumindo, temos que:

x = 1; y = 0; z = 2.

Dessa forma, se você quiser, poderá apresentar o conjunto-solução {x; y; z} do seguinte modo:

S = {1; 0; 2}

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.