Question

Determine o inverso multiplicativo de z, sabendo que:
a)z=2+4i
b)z=-1-2i
c)z=i

Answer 1

Considere $z=a+bi$ um número complexo não-nulo, sendo $a,\,b\in \mathbb{R}.$

O inverso multiplicativo de $z$ é o número $z^{-1}=\dfrac{1}{z},$ de modo que

$z\cdot z^{-1}=z^{-1}\cdot z=1$

_________

Sabemos que se multiplicarmos um número complexo pelo seu conjugado, obtemos o quadrado de seu módulo:

$z\cdot z^{*}=|z|^2\\\\ z\cdot z^{*}=a^2+b^2$

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Um método comum para calcular o inverso multiplicativo de um número complexo é usando a multiplicação e divisão pelo conjugado.

$z^{-1}\\\\\\ =\dfrac{1}{z}\\\\\\ =\dfrac{1}{z}\cdot \dfrac{z^{*}}{z^{*}}\\\\\\ =\dfrac{z^{*}}{z\cdot z^{*}}\\\\\\ =\dfrac{z^{*}}{|z|^2}\\\\\\ =\dfrac{a-bi}{a^2+b^2}\\\\\\ =\boxed{\begin{array}{c}\dfrac{a}{a^2+b^2}-\dfrac{b}{a^2+b^2}\,i\end{array}}$


sendo $z^{*}=a-bi$ o conjugado do complexo $z.$

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a) $z=2+4i.$

$\dfrac{1}{2+4i}\\\\\\ =\dfrac{2-4i}{2^2+4^2}\\\\\\ =\dfrac{2-4i}{4+16}\\\\\\ =\dfrac{2-4i}{20}\\\\\\ =\dfrac{2}{20}-\dfrac{4}{20}\,i\\\\\\ =\dfrac{1}{10}-\dfrac{1}{5}\,i~~~~~~\checkmark$


b) $z=-1-2i.$

$\dfrac{1}{-1-2i}\\\\\\ =\dfrac{-1+2i}{(-1)^2+(-2)^2}\\\\\\ =\dfrac{-1+2i}{1+4}\\\\\\ =\dfrac{-1+2i}{5}\\\\\\ =-\,\dfrac{1}{5}+\dfrac{2}{5}\,i~~~~~~\checkmark$


c) $z=i.$

$\dfrac{1}{i}\\\\\\ =\dfrac{-i}{1^2}\\\\\\ =\dfrac{-i}{1}\\\\\\ =-i~~~~~~\checkmark$


Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :-)

Answer 2

Os inversos multiplicativos são: a) $z^{-1}=\frac{1-2i}{10}$, b) $z^{-1}=\frac{-1+2i}{5}$ e c) z⁻¹ = -i.

O inverso multiplicativo do número complexo z é definido por z⁻¹ = 1/z.

a) Sendo z = 2 + 4i, temos que:

$z^{-1}=\frac{1}{2+4i}$.

Agora, precisamos multiplicar o numerador e o denominador pelo número complexo 2 - 4i:

$z^{-1}=\frac{1}{2+4i}.\frac{2-4i}{2-4i}$

$z^{-1}=\frac{2-4i}{4-16i^2}$

O valor de i² é -1. Então, substituindo o valor de i², obtemos o inverso multiplicativo de z é:

$z^{-1}=\frac{2-4i}{4+16}$

$z^{-1}=\frac{2-4i}{20}$

$z^{-1}=\frac{1-2i}{10}$.

b) Da mesma forma do item anterior, temos que: dado z = -1 - 2i, o inverso multiplicativo é

$z^{-1}=\frac{1}{-1-2i}$

Multiplicando o numerador e o denominador do número complexo acima por -1 + 2i, obtemos:

$z^{-1}=\frac{1}{-1-2i}.\frac{-1+2i}{-1+2i}$

$z^{-1}=\frac{-1+2i}{1-4i^2}$

$z^{-1}=\frac{-1+2i}{1+4}$

$z^{-1}=\frac{-1+2i}{5}$.

c) Por fim, temos que o inverso multiplicativo do número complexo z = i é $z^{-1}=\frac{1}{i}$.

Multiplicando o numerador e o denominador do número complexo por -i, obtemos:

$z^{-1}=\frac{1}{i}.\frac{-i}{-i}$

$z^{-1}=\frac{-i}{-i^2}$

z⁻¹ = -i.

Para mais informações sobre números complexos, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/18050628