Question

Determine o valor real de x para que se tenha.

raiz de (x + raiz de x -1)= raiz de 2x - 3

a)10
b)(2,5)
c)5
d)(7,5)
e)1

Answer 1

Vamos lá.

Pede-se o valor real de "x" para que se tenha:

√[x+√(x-1)] = √(2x-3) ---- para eliminar os primeiros radicais, vamos elevar ambos os membros ao quadrado:

{√[x+√(x-1)]}² = [√(2x-3)]² ----- desenvolvendo, ficaremos assim:
x + √(x-1) = 2x-3 ---- passando "x" para o 2º membro, teremos:
√(x-1) = 2x-3 - x ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
√(x-1) = x-3 ---- finalmente, para eliminar o último radical, elevamos novamente ambos os membros ao quadrado, ficando:

[√(x-1)]² = (x-3)² ---- desenvolvendo, ficaremos:
x - 1 = x² - 6x + 9 ---- passando todo o 1º membro para o 2º, teremos:
0 = x² - 6x + 9 - x + 1 ----- reduzindo os termos semelhantes, temos:
0 = x² - 7x + 10 ---- vamos apenas inverter, ficando:
x² - 7x + 10 = 0 ---- Se você aplicar Bháskara, vai encontrar as seguintes raízes:

x' = 2
x'' = 5.

Agora note isto: em princípio, as raízes seriam as que demos aí em cima (x'=2; e x''=5). Contudo, tratando-se de equação irracional, só poderemos afirmar se a resposta será esta mesma se formos na igualdade original e substituirmos o "x" por "2" e depois por "5". Se ambas as raízes satisfizerem a igualdade original então elas serão as respostas. Se apenas uma satisfizer,então será esta uma a resposta.
Ao fazer isso, vamos ver que apenas a raiz x = 5 confirmou a igualdade original, o que nos faz concluir que o valor real de "x" será:

x = 5 <---- Esta é a resposta. Opção "c".

Observação: a resposta já está dada. Mas apenas por curiosidade, veja como isso é verdade. Vamos substituir, na igualdade original o "x" por "2" e veremos que a raiz x = 2 não satisfaz. Veja:

√[x+√(x-1)] = √(2x-3) ---- substituindo-se "x" por "2", teremos:
√[2+√(2-1)] = √(2*2-3)
√[2+√(1)] = √(4-3) --- como √(1) = 1, ficaremos:
√(2+1) = √(4-3)
√(3) = √(1) --- ou apenas:
√(3) = 1 <--- Veja o absurdo. Logo, x = 2 não satisfaz a igualdade original.

Para x = 5, teremos:

√[x + √(x-1)] = √(2x-3) ---- substituindo-se "x" por "5", teremos:
√[5 + √(5-1)] = √(2*5-3)
√[5+√(4)] = √(10-3) ----- como √(4) = 2, teremos:
√(5+2) = √(10-3)
√(7) = √(7) <--- Olha aí como para x = 5 a igualdade original é confirmada.

Por isso é que o valor real de "x" é "5", que foi a resposta que demos.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.

Answer 2

$\begin{array}{l}\sqrt{x+\sqrt{x-1}}=\sqrt{2x-3} \end{array}$


Elevando os dois lados ao quadrado, temos

$\\\begin{array}{l}\big(\sqrt{x+\sqrt{x-1}}\,\big)^2=\big(\sqrt{2x-3}\,\big)^2 \end{array}\\\\ x+\sqrt{x-1}=2x-3\\\\ \sqrt{x-1}=2x-3-x\\\\ \sqrt{x-1}=x-3$


Elevando os dois lados ao quadrado novamente,

$\big(\sqrt{x-1}\,\big)^{\!2}=(x-3)^2$

x – 1 = x² – 6x + 9

0 = x² – 6x + 9 – x + 1

x² – 7x + 10 = 0                a = 1,  b = – 7,  c = 10


Δ = b² – 4ac

Δ = (– 7)² – 4 · 1 · 10

Δ = 49 – 40

Δ = 9

Δ = 3²


$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\\\\\\ x=\dfrac{-(-7)\pm\sqrt{3^2}}{2\cdot 1}\\\\\\ x=\dfrac{7\pm 3}{2}\\\\\\ \begin{array}{rcl} x=\dfrac{7-3}{2}&~\text{ ou }~&x=\dfrac{7+3}{2}\\\\ x=\dfrac{4}{2}&~\text{ ou }~&x=\dfrac{10}{2}\\\\ x=2&~\text{ ou }~&x=5 \end{array}$

___________

ATENÇÃO: Estamos resolvendo uma equação irracional, então devemos testar os valores encontrados para verificar se realmente são soluções da equação dada inicialmente.

•   Testando x = 2:

$\begin{array}{l}\sqrt{2+\sqrt{2-1}}\\\\ =\sqrt{2+\sqrt{1}}\\\\ =\sqrt{2+1}\\\\ =\sqrt{3}\\\\ \ne \sqrt{1}\\\\ \sqrt{4-3}\\\\ =\sqrt{2\cdot 2-3}~~~~~~(\diagup\!\!\!\!\!\diagdown)\end{array}$


•   Testando x = 5:

$\begin{array}{l}\sqrt{5+\sqrt{5-1}}\\\\ =\sqrt{5+\sqrt{4}}\\\\ =\sqrt{5+2}\\\\ =\sqrt{7}\\\\ =\sqrt{10-3}\\\\ =\sqrt{2\cdot 5-3}~~~~~~(\checkmark)\end{array}$

___________

Logo, só  x = 5  é solução para a equação irracional dada.


Conjunto solução:  S = {5}.


Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :-)