Question

Ajude por favor................


Usando a Regra de L'Hospital, verifique a convergência ou divergência da sequência

an = raiz de (n + 5)/n^2,

e em seguida assinale a alternativa CORRETA.

Converge para 0


Diverge


Converge para 2


Converge para 1/2


Converge para 1

Answer 1

$a_n=\dfrac{\sqrt{n+5}}{n^2}$


Tomemos a função associada a esta sequência

$f(x)=\dfrac{\sqrt{x+5}}{x^2}$


Calculando o limite quando $x\to \infty,$

$\underset{x\to \infty}{\mathrm{\ell im}}~f(x)\\\\\\ =\underset{x\to \infty}{\mathrm{\ell im}}~\dfrac{\sqrt{x+5}}{x^2}$


Indeterminação ∞/∞. Pela Regra de L'Hospital

(se o limite abaixo existir, então)

$=\underset{x\to \infty}{\mathrm{\ell im}}~\dfrac{\frac{d}{dx}(\sqrt{x+5})}{\frac{d}{dx}(x^2)}\\\\\\ =\underset{x\to \infty}{\mathrm{\ell im}}~\dfrac{\left(\frac{1}{2\sqrt{x+5}}\right)}{2x}\\\\\\ =\underset{x\to \infty}{\mathrm{\ell im}}~\dfrac{1}{2\sqrt{x+5}}\cdot\dfrac{1}{2x}\\\\\\ =\underset{x\to \infty}{\mathrm{\ell im}}~\dfrac{1}{4x\sqrt{x+5}}\\\\\\ =0$


Logo a sequência $a_n$ converge para o mesmo valor do limite encontrado:

$\underset{n\to \infty}{\mathrm{\ell im}}~a_n=0$


converge para 0 (zero)


Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :-)