Question

Encontre a função f(x) no caso a seguir: f''(x) -12x2+12x-2, F(0) = 4; f'(0) = 12

Answer 1

 Olá!

$\\ \mathsf{Sabemos \ que: \ f(x) = \int f'(x) \ dx.} \\\\ \mathsf{Com \ efeito, \ f'(x) = \int f''(x) \ dx.}$

 Por conseguinte,

$\\ \mathsf{f'(x) = \int f''(x) \ dx} \\\\ \mathsf{f'(x) = \int (- 12x^2 + 12x - 2) \ dx} \\\\ \mathsf{f'(x) = - \frac{12x^3}{3} + \frac{12x^2}{2} - 2x + c_1} \\\\ \mathsf{f'(0) = - 4 \cdot 0 + 6 \cdot 0 - 0 \cdot 12 + c_1} \\\\ \mathsf{12 = 0 + 0 + 0 + c_1} \\\\ \boxed{\mathsf{c_1 = 12}}$

 Então, até aqui tiramos que: $\mathsf{f'(x) = - 4x^3 + 6x^2 - 2x + 12}$.

 Segue,

$\\ \mathsf{f(x) = \int f'(x) \ dx} \\\\ \mathsf{f(x) = \int (- 4x^3 + 6x^2 - 2x + 12) \ dx} \\\\ \mathsf{f(x) = - \frac{4x^4}{4} + \frac{6x^3}{3} - \frac{2x^2}{2} + 12x + c_2} \\\\ \mathsf{f(0) = - 1 \cdot 0 + 2 \cdot 0 - 1 \cdot 0 + 12 \cdot 0 + c_2} \\\\ \mathsf{4 = 0 + 0 + 0 + 0 + c_2} \\\\ \boxed{\mathsf{c_2 = 4}}$

 Por fim, concluímos que: $\boxed{\boxed{\mathsf{f(x) = - x^4 + 2x^3 - x^2 + 12x + 4}}}$.

 Se não errei nada, é isso!! Rs