Question

Dado um ponto P=(x,y),as coordenadas do ponto Q=(x',y'), obtido de P por uma rotação de um ângulo θ, são determinadas através de uma multiplicação de matrizes. As novas coordenadas do ponto serão dadas por $\left[\begin{array}{ccc}x'\\y'\\\end{array}\right]$=$\left[\begin{array}{ccc}cosθ&-senθ\\senθ&cosθ\\\end{array}\right]$ *$\left[\begin{array}{ccc}x\\y\\\end{array}\right]$.Nas obras de arte do artista Escher, as rotações são uma estratégia para criar imagens. No centro da figura a seguir, vemos que cada elemento foi rotacionado de 120 graus. Suponha que a cauda de um dos animais representado no centro da figura tenha coordenadas P=(2,3).Após sofrer uma rotação, quais serão, aproximadamente, as coordenadas da cauda?a)Q=(-3,0,2)
b)Q=(-3,6;0,2)
c)Q=(2,6;0,2)
d)Q=(3,6;-0,2)

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Fernando, que deveremos ter isto,conforme está indicado na sua questao:

|cos(I)......-sen(I)|*| x | = | x' |
|sen(I).......cos(I)|*| y | = |y' |

Bem, a pergunta é: supondo que cada elemento foi rotacionado em 120º e considerando que o ponto P tenha as seguintes coordenadas P(2; 3).
Assim, ao substituirmos vamos tomar a expressão acima e vamos substituir "I" por "120º" e o par ordenado (x; y) por (2; 3). Logo:

|cos(120º)....-sen(120º)|*| 2 | = | x' |
|sen(120º).....cos(120º)|*| 3 | = | y' |

Vamos efetuar o produto indicado, ficando:

|2cos(120º) - 3sen(120º| = | x' |
|2sen(120º)+3cos(120º)| = | y' |

Agora vamos igualar cada elemento da 1ª matriz ao elemento correspondente da 2ª matriz. Assim:

x' = 2cos(120º) - 3sen(120º) ----veja que cos(120º) = -1/2; e sen(120º) = √(3)/2. Logo:

x' = 2*(-1/2) - 3*√(3)/2
x' = -2/2 - 3√(3)/2
x' = - 1 - 3√(3)/2 ------ admitindo que √(3) seja igual a "1,73" , teremos:
x' = - 1 - 3*1,73/2
x' = - 1 - 5,19/2 ---- como 5,19/2 = 2,6 (aproximadamente), teremos:
x' = -1 - 2,6
x' = - 3,6  <--- Este seria o valor aproximado da abscissa x'.

Agora vamos calcular y', que será dado por (conforme está indicado nas 2 matrizes acima):

y' = 2sen(120º) + 3cos(120º) ---- como já sabemos quanto é sen(120º) e cos(120º), vamos apenas substituir, ficando:

y' = 2*√(3)/2 + 3*(-1/2)
y' = 2√(3)/2 - 3/2 ----- ou, o que é a mesma coisa:
y' = [2√(3) - 3]/2 ----- admitindo √(3) = 1,73, teremos:
y' = [2*1,73 - 3]/2 ---- veja que 2*1,73 = 3,46 (aproximadamente). Logo:
y' = [3,46 - 3]/2
y' = [0,46]/2 ---- veja que 0,46/2 = 0,23. que arredondaremos para "0,2" (aproximadamente). Logo:

y' = 0,2 <--- Este seria o valor aproximado da ordenada y'.

Dessa forma, o par ordenado Q(x'; y') seria este, com seus valores aproximados:

Q(-3,6; 0,2) <---- Esta é a resposta. Opção "b".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.