Question

Ache f(x) para f(x/x+1)=x^2

Answer 1

Olá Gabriel!

Inicialmente, pensei no seguinte:

$\\ \mathsf{f\left ( \frac{x}{x + 1} \right ) = x^2} \\\\\\ \mathsf{\frac{f(x)}{f(x + 1)} = x^2} \\\\ \mathsf{f(x) = x^2 \cdot \left [ f(x + 1) \right ]} \\\\ \mathsf{f(x) = x^2 \cdot \left [ f(x) + f(1) \right ]} \\\\ \mathsf{x^2 \cdot f(x) - f(x) = - x^2 \cdot f(1)} \\\\ \mathsf{f(x) \cdot (x^2 - 1) = - x^2 \cdot f(1)} \\\\ \mathsf{f(x) = \frac{x^2}{1 - x^2} \cdot f(1)}$
 
 Bastando encontrar f(1) para chegar na resposta; mas, parece-me que a função não está definida em x = 1. 
 
 Desse modo, adotei a seguinte abordagem:

$\begin{cases} \mathsf{\frac{x}{x + 1} = 2 \Rightarrow 2x + 2 = x \Rightarrow x = - 2} \\\\ \mathsf{\frac{x}{x + 1} = 3 \Rightarrow 3x + 3 = x \Rightarrow x = - \frac{3}{2}} \\\\ \mathsf{\frac{x}{x + 1} = 4 \Rightarrow 4x + 4 = x \Rightarrow x = - \frac{4}{3}} \\\\ (...) \\\\ \mathsf{\frac{x}{x + 1} = n \Rightarrow nx + n = x \Rightarrow x = - \frac{n}{n - 1}} \end{cases} \\\\\\ \mathsf{\forall\ n\in\mathbb{Z} - \left \{ 1 \right \}.}$

 Com efeito,

$\mathsf{f\left (\frac{x}{x + 1} \right ) = x^2} \begin{cases} \mathsf{f(- 2) = (- 2)^2 \Rightarrow f(- 2) = 4} \\\\ \mathsf{f(- 3) = \left ( - \frac{3}{2} \right )^2 \Rightarrow f(- 3) = \frac{9}{4}} \\\\ \mathsf{f(- 4) = \left ( - \frac{4}{3} \right )^2 \Rightarrow f(- 4) = \frac{16}{9}} \\\\ (...) \\\\ \mathsf{f(n) = \left ( - \frac{n}{n - 1} \right )^2 \Rightarrow f(n) = \frac{n^2}{(n - 1)^2}} \end{cases}$

 
$\mathsf{Com \ isso \ Gabriel, \ podemos \ concluir \ que \ \boxed{\boxed{\mathsf{f(x) = \frac{x^2}{(x - 1)^2}}}}.}$
 
Parabéns pela questão!!