Question

Determine os possíveis valores de K para que o Ponto P (2,-3) pertença ao interior da circunferência da equação x2 + y2 -2x - 2y +3k = 0

Answer 1

Olá, Janacris1990.

A equação geral de uma circunferência de centro em (a,b) e raio r é dada por:

$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2 \Rightarrow\\\\x^2-2ax+a^2+y^2-2by+b^2=r^2 \Rightarrow\\\\x^2+y^2-2ax-2by+a^2+b^2-r^2=0$

Por comparação com a equação dada no enunciado, vamos encontrar o centro (a,b) da circunferência deste exercício:

$\\\\\begin{cases}-2a=-2 \Rightarrow a=1 \\-2b=-2 \Rightarrow b=1\end{cases} \Rightarrow\\\\\\x^2+y^2-2x-2y+1+1-r^2=0 \Rightarrow\\\\x^2+y^2-2x-2y+2-r^2=0\ \text{(i)}$

Ocorre que P pertence ao INTERIOR da circunferência.
A equação do interior da circunferência é dada pela equação geral da circunferência, porém com o símbolo de $\leq$ ("menor ou igual") no lugar do "=" (igual).

Assim a equação $\text{(i)}$ fica:

$x^2+y^2-2x-2y+2-r^2\leq0\ \text{(ii)}$

Substituindo agora o ponto P(2,-3) na equação $\text{(i)},$ vamos encontrar os possíveis valores do raio r , de forma que o ponto P pertença ao interior da circunferência:

$2^2+(-3)^2-2\cdot2-2\cdot(-3)+2-r^2\leq0 \Rightarrow\\\\r^2\geq 4+9-4+6+2=17 \Rightarrow r\geq\sqrt{17}\ \text{(iii)}$

Voltando agora à equação $\text{(ii)}$, vamos obter o valor de k :

$2-r^2=3k \Rightarrow r^2=2-3k \Rightarrow r=\sqrt{2-3k}$

Aplicando a condição $\text{(iii)}$, temos:

$r\geq\sqrt{17}\Rightarrow\sqrt{2-3k}\geq\sqrt{17}\Rightarrow2-3k\geq17\Rightarrow\\\\-3k\geq15 \ \times(-1) \Rightarrow3k\leq-15\Rightarrow k\leq\frac{-15}3\Rightarrow\\\\\boxed{k\leq-5}$