Question

Determine x a fim de que a sequência(5x+1, x+1, x-2) seja uma P.G.

Answer 1

PG(5x+1, x+1, x-2)

(x+1)² = (5x+1)(x-2)

x² + 2x + 1 = 5x² - 10x + x - 2

5x² - x² - 2x - 10x + x - 2 - 1 = 0

4x² - 11x - 3 = 0

Δ = (-11)² - 4(4)(-3)
Δ = 121 + 48 = 169
√Δ = √169 = 13

x' = (11 + 13)/2.4 = 24/8 = 3

x'' = (11 - 13)/2.4 = -2/8 = -1/4

Para x = 3 temos:

PG(16, 4, 1)

Para x = -1/4 temos:

PG(-1/4, 3/4, -9/4)

Resposta: x = 3 ou x = -1/4

Espero ter ajudado.

Answer 2

Pela definição de progressão geométrica temos a seguinte resposta: Para x=3, temos: (16, 4, 1) Para x=-1/4, temos: (-1/4, 3/4, -9/4)

Progressão Geométrica

É toda sequência numérica em que cada termo,a partir do segundo,é igual ao produto do termo anterior por uma constante q. O número q é chamado de razão da progressão geométrica.

Uma sequência de três termos,em que o primeiro é diferente de zero,é uma P.G,se e somente se,o quadrado do termo médio é igual ao produto dos outros dois,isto é,sendo a ≠0,temos:

(a,b,c) é P.G⇔b²=ac

Demonstração : Vamos analisar cada uma das hipóteses : b≠0 ou b=0

1ª hipótese : b≠0
Como a ≠0 e b≠0,temos$\left \{ {{(a,b,c) P.G < = > \frac{b}{a}=\frac{c}{b} } \atop {\frac{b}{a}=\frac{c}{b} < = > b^2=ac }} \right.$

Logo, (a,b,c) é P.G <=>b²=ac

2ª hipótese: b=0

Como a≠0 e b=0,a P.G (a,b,c)é(a,0,0)e, portanto, o quadrado do termo médio(0²)é igual ao produto dos outros dois termos (a.0).

Logo,(a,b,c)é P.G<=>b²=ac

Sendo assim:

(x+1)²=(5x+1)(x-2)
x²+2x+1=5x²-10x+x-2
4x²-11x-3=0
Δ=b²-4ac
Δ=121-4.4.(-3)

Δ=121+48=169⇒√Δ=13

x'=(-b+√Δ)2a=$\frac{11+13}{8}$=24/8=3

x''=(11-13)/8=-1/4

Como temos uma P.G, então: Para x=3, temos: (16, 4, 1), Para x=-1/4, temos: (-1/4, 3/4, -9/4)

Saiba mais sobre progressão geométrica:https://brainly.com.br/tarefa/7790791