Question

1) As integrais triplas podem ser calculadas, a partir das técnicas desenvolvidas para o cálculo de integrais de funções de uma variável, segundo seis ordens diferentes de integração, conforme apresentado pelo Teorema de Fubini. Independente da ordem em que os cálculos forem realizados, as seis possibilidades fornecem o mesmo valor para a integral tripla, desde que sejam realizadas as mudanças necessárias para que não ocorra erros na representação da região de integração.

Considere a função f(x,y,z)=x^2+2Y+XZ



Deseja-se calcular a integral tripla da função f sobre a região

R={(X,Y,Z)Er

Qual o resultado obtido com a integração de f sobre R?


Alternativas:
a)
8/3.

b)
8.

c)
13.

d)
29/3.

e)
35/3.



2) Assim como as integrais duplas, podemos aplicar as integrais triplas no cálculo do volume de superfícies, desde que consideremos funções e limites de integração adequados. Para calcular o volume ocupado por um sólido H, precisamos calcular a integral tripla da função f(x,y,z) = 1 sobre H.

Seja a superfície S limitada pelos planos coordenados e pelo plano x + y + z = 3 no primeiro octante.

Utilizando integrais triplas, qual o volume da superfície S?


Alternativas:
a)
3.

b)
9/2.

c)
12.

d)
27/6.

e)
27/2.



3) Podemos aplicar mudanças de variáveis nas integrais triplas, assim como nas integrais duplas, considerando transformações convenientes sobre as regiões em estudo.

Os sistemas de coordenadas cilíndricas e esféricas podem ser aplicados na simplificação do cálculo de integrais triplas, sendo que cada sistema possui suas expressões características que permitem estas mudanças, tendo como base o sistema de coordenadas cartesianas.

Considere o sólido S, no primeiro octante, contido no cilindro x2 + y2 = 4, limitado superiormente pela esfera x2 + y2 + z2 = 16 e limitado pelos planos coordenados. Para simplificar o estudo deste sólido podemos considerar o sistema de coordenadas cilíndricas.

Considerando que na determinação do volume ocupado por um sólido H é preciso calcular a integral tripla da função f(x,y,z) = 1 sobre H, qual o volume do sólido S calculado por meio de integrais triplas com base no sistema de coordenadas cilíndricas?


Alternativas:
a)
32/3 ∏.

b) ∏.
c)
∏.

d)
12∏.

e)
32∏.



4) As coordenadas esféricas podem simplificar a representação de alguns tipos de superfícies, como as esferas e os cones, devido aos tipos de transformações adotadas.

Sejam a função



e H a região no interior da esfera x2 + y2 + z2 = 9 e acima do plano xy.

Considerando as transformações entre os sistemas de coordenadas cartesianas e esféricas, qual o resultado da integral tripla da função f sobre a região H, calculada em função das coordenadas esféricas?


Alternativas:
a)
0.

b)


c)


d)


e)




5)
As integrais triplas envolvem o estudo de funções de três variáveis a partir de uma região no espaço. Assim como as integrais de funções de uma variável real, estas expressões são construídas com base na soma de Riemann.

Considere a função



e a região E no espaço limitada pelo parabolóide x = y2 + z2 e pelo plano x = 4.

Qual o resultado da integral tripla da função f sobre a região E?


Alternativas:
a)


b)


c)


d)


e)

Answer 1

Não tenho certeza, mas a 1ª questão é letra B?

Answer 2

1) Podemos afirmar que considerando a função f(x,y,z)=x^2+2Y+XZ, o resultado obtido com a integração de f sobre R da integral tripla da função f sobre a região R={(X,Y,Z)Er, é equivalente a: e) 35/3.

• Sob esse aspecto, podemos ainda evidenciar que o cálculo das integrais trata-se de um procedimento utilizado na matemática com sendo uma reversão da derivação.

• Assim, numa tabela de integrais encontramos uma lista  relacionando as funções as correspondentes famílias de antiderivadas apropriadas.

• Lembre-se também de que existem as propriedades de integração, as quais devem ser respeitadas para  auxílio no cálculo de integrais.

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2) Podemos compreender que utilizando integrais triplas,  o volume da superfície S, é equivalente ao que está descrito na alternativa: b) 9/2.

• Nesse sentido, destaca-se que a integral múltipla pode ser conceituada como sendo uma integral definida para funções de múltiplas variáveis.

• Como sabemos que a integral definida de uma função positiva de uma variável representa a área entre o gráfico e o eixo x, ao passo que a integral dupla de uma função de duas variáveis representa o volume entre o gráfico e o plano que contém seu domínio.  

• Então podemos dizer que as integrais triplas são análogas as integrais duplas, porém consideram as três dimensões.

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3)  Podemos entender que o volume do sólido S calculado por meio de integrais triplas com base no sistema de coordenadas cilíndricas, é equivalente a a) 32/3 ∏.

• Nesse sentido, é importante lembrar-se de que tanto o sistema de coordenadas cilíndricas quanto o sistema de coordenas esféricas podem ser aplicados na simplificação do cálculo de integrais triplas.

• Tenha em mente que  que cada sistema possui suas expressões características, como o uso de notação grega para indicar comprimentos e ângulos e essas peculiaridades acabam por permitir  estas mudanças, tendo como base o sistema de coordenadas cartesianas.

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4) Podemos afirmar que o resultado da integral tripla da função f sobre a região H, calculada em função das coordenadas esféricas, levando em consideração as transformações entre os sistemas de coordenadas cartesianas e esféricas, é equivalente a 486π/ 5.

• Sob esse aspecto, podemos ainda compreender que  as transformações entre os sistemas de coordenadas cartesianas e esféricas são mecanismo de extrema importância no que tange cálculos envolvendo áreas.

• Se o aluno não compreende como fazer tais modificações de sistemas pode comprometer seriamente o resultado final do exercício.

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5) Podemos afirmar que  o resultado da integral tripla da função f sobre a região E, é equivalente a 128π/ 15.

• Observe que, para responder a questões que levam em consideração o desenvolvimento de integrais tripla, é muito importante que o aluno tenha um conhecimento robusto das aplicações das integrais, bem como dos seus cálculos.

• É muito comum que em casos de questões como essa, o resultado seja bastante complexo e extenso, considerando alguns símbolos gregos em suas notações e uma atenção redobrada na hora de atribuir os valores dos intervalos das integrais, para que não haja confusão.

Mas nada que a prática de exercícios não possa te ajudar.

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