Question

mostre que a integral de linha ydx +xdy +xyzdz não é independente do caminho

Answer 1

Mostrar que a integral de linha

$\displaystyle\mathtt{\int_C y\,dx+x\,dy+xyz\,dz}$

não é independente do caminho (isto é, depende do caminho).

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Primeiramente, podemos fazer o teste do rotacional do campo envolvido.

$\overrightarrow{\mathtt{F}}\mathtt{(x,\,y,\,z)=P\overrightarrow{\mathtt{i}}+Q\overrightarrow{\mathtt{j}}+R\overrightarrow{\mathtt{k}}}\\\\ \overrightarrow{\mathtt{F}}\mathtt{(x,\,y,\,z)=y\overrightarrow{\mathtt{i}}+x\overrightarrow{\mathtt{j}}+xyz\overrightarrow{\mathtt{k}}}$


Calculando o rotacional de $\overrightarrow{\mathtt{F}}:$

(usarei a notação mneumônica de produto vetorial/determinante)

$\mathtt{rot}\overrightarrow{\mathtt{F}}\mathtt{=\nabla\times \overrightarrow{\mathtt{F}}}\\\\\\ =\left|\begin{array}{ccc} \overrightarrow{\mathtt{i}}&\overrightarrow{\mathtt{j}}&\overrightarrow{\mathtt{k}}\\\\ \mathtt{\frac{\partial}{\partial x}}&\mathtt{\frac{\partial}{\partial y}}&\mathtt{\frac{\partial}{\partial z}}\\\\ \mathtt{P}&\mathtt{Q}&\mathtt{R} \end{array}\right|\\\\\\\\ =\left|\begin{array}{ccc} \overrightarrow{\mathtt{i}}&\overrightarrow{\mathtt{j}}&\overrightarrow{\mathtt{k}}\\\\ \mathtt{\frac{\partial}{\partial x}}&\mathtt{\frac{\partial}{\partial y}}&\mathtt{\frac{\partial}{\partial z}}\\\\ \mathtt{y}&\mathtt{x}&\mathtt{xyz} \end{array}\right|$


$=\mathtt{\left(\dfrac{\partial}{\partial y}(xyz)-\dfrac{\partial}{\partial z}(x)\right)\!\!\overrightarrow{\mathtt{i}}+\left(\dfrac{\partial}{\partial z}(y)-\dfrac{\partial}{\partial x}(xyz)\right)\!\!\overrightarrow{\mathtt{j}}+\left(\dfrac{\partial}{\partial x}(x)-\dfrac{\partial}{\partial y}(y)\right)\!\!\overrightarrow{\mathtt{k}}}\\\\\\ =\mathtt{(xz-0)\overrightarrow{\mathtt{i}}+(0-yz)\overrightarrow{\mathtt{j}}+(1-1)\overrightarrow{\mathtt{k}}}$

$=\mathtt{xz\overrightarrow{\mathtt{i}}-yz\overrightarrow{\mathtt{j}}+0\overrightarrow{\mathtt{k}}\ne \overrightarrow{\mathtt{0}}}$


Como o rotacional não é campo nulo, podemos afirmar que

$\mathtt{\overrightarrow{\mathtt{F}}(x,\,y,\,z)}$ não é um campo conservativo – e dessa forma, a integral de linha não é independente do caminho.


Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :-)