Question

Resolva Estas funções e faça o que se pede.

Encontre o Domínio da definição de função, das funções abaixo.

a) $y=g\left(x\right)=\left(1-x,\:se\:x\:\le 0\right)\:\:,\:e\:\:\left(\:\sqrt{1-x^2\:,se\:0\:\le x\le 1}\right)$

b) $y=f\left(x\right)=\sqrt{4-\left(x+1\right)^2}$

c) $y=f\left(x\right)=\frac{1}{\left(x-1\right)\left(x-1\right)}$

d) $y=f\left(x\right)=\frac{x+5}{\left|\:x+5\right|}$

Answer 1

a) $\mathtt{g(x)=}\left\{\! \begin{array}{ll} \mathtt{1-x}&\texttt{ se }\mathtt{x\le 0}\\\\ \mathtt{\sqrt{1-x^2}}&\texttt{ se }\mathtt{0\le x\le 1} \end{array} \right.$


Veja, que a única restrição que devemos ter é na 2ª sentença – o radicando não pode ser negativo:

$\mathtt{1-x^2\ge 0}\\\\ \mathtt{x^2\le 1}\\\\ \mathtt{\sqrt{x^2}\le \sqrt{1}}\quad\quad\quad\texttt{mas }\mathtt{\sqrt{x^2}=|x|}\\\\ \mathtt{|x|\le 1}\\\\ \mathtt{-1\le x\le 1}$


Mas observe que a 2ª sentença só define a função para valores no intervalo $\mathtt{[0,\,1].}$


O domínio da função é

$\mathtt{Dom(g)=(-\infty,\,0]\cup[0,1]}\\\\ \mathtt{Dom(g)=(-\infty,\,1]}$


ou em notação usual,

$\mathtt{Dom(g)=\{x\in\mathbb{R}: x\le 1\}}.$

_______

b) $\mathtt{f(x)=\sqrt{4-(x+1)^2}}$

Devemos ter

$\mathtt{4-(x+1)^2\ge 0}\\\\ \mathtt{(x+1)^2\le 4}\\\\ \mathtt{\sqrt{(x+1)^2}\le \sqrt{4}}\quad\quad\quad\texttt{mas }\mathtt{\sqrt{(x+1)^2}=|x+1|}\\\\ \mathtt{|x+1|\le 2}\\\\ \mathtt{-2\le x+1\le 2}$


Subtraindo 1 de todos os membros da desigualdade acima,

$\mathtt{-2-1\le x+1-1\le 2-1}\\\\ \mathtt{-3\le x\le 1}$


O domínio da função é

$\mathtt{Dom(f)=[-3,\,1]}$


ou em notação usual,

$\mathtt{Dom(f)=\{x\in\mathbb{R}:-3\le x\le 1\}}.$

_______

c) $\mathtt{f(x)=\dfrac{1}{(x-1)(x-1)}}$

$\mathtt{f(x)=\dfrac{1}{(x-1)^2}}$


Ora, o denominador não pode ser igual a zero:

$\mathtt{(x-1)^2\ne 0}\\\\ \mathtt{x-1\ne 0}\\\\ \mathtt{x\ne 1}$


O domínio é

$\mathtt{Dom(f)=\mathbb{R}-\{1\}}.$

_______

d) $\mathtt{f(x)=\dfrac{x+5}{|x+5|}}$
 
Devemos ter então,

$\mathtt{|x+5|\ne 0}\\\\ \mathtt{x+5\ne 0}\\\\ \mathtt{x\ne -5}$


O domínio é

$\mathtt{Dom(f)=\mathbb{R}-\{-5\}}.$


Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :-)