Preciso urgente de ajuda (explicação) sobre funções exponenciais e logarítmicas eu não entendo a matéria tenho que entregar amanha. Obrigada pela ajuda!
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Não dá para explicar tudo aqui mas tem dois links abaixo q vc pode comlementar as explicações e ver os gráficos.
LOG
Nestas condições, escrevemos simbolicamente: log416 = 2. Mais exemplos:
152 = 225, logo: log15 225 = 2
É fácil demonstrar as seguintes propriedades imediatas dos logaritmos, todas decorrentes da definição: P1) O logaritmo da unidade em qualquer base é nulo, ou seja:loga1 = 0 porque a0 = 1. P2) O logaritmo da base é sempre igual a 1, ou seja: logbb = 1 , porque b1 = b. P3) logaak = k, porque ak = ak. P4) Se logab = logac então podemos concluir que b = c. Esta propriedade é muito utilizada na solução de exercícios envolvendo equações onde aparecem logaritmos (equações logarítmicas). P5) alogab = b ou seja: a elevado ao logaritmo de b na base a é igual a b. Propriedades operatórias dos logaritmos P1 - Logaritmo de um produto O logaritmo de um produto é igual a soma dos logaritmos dos fatores, ou seja:
loga(b.c) = logab + logac Exemplo: log20 =log(2.10) = log2 + log10 = 0,3010 + 1 = 1,3010. Observe que como a base não foi especificada, sabemos que ela é igual a 10. P2 - Logaritmo de um quociente O logaritmo de uma fração ordinária é igual a diferença entre os logaritmos do numerador da fração e do denominador, ou seja: loga(b/c) = logab – logac. Exemplo: log0,02 = log(2/100) = log2 - log100 = 0,3010 - 2,0000 = -1,6990. Do exposto anteriormente, podemos concluir que, sendo log0,02 = -1,6990 então 10-1,6990 = 0,02. Da mesma forma podemos exemplificar:
log5 = log(10/2) = log10 - log2 = 1 - 0,3010 = 0,6990. Chamamos de cologaritmo de um número positivo b numa base a, ao logaritmo do inverso multiplicativo de N, também na base b. Ou seja:
cologab = loga(1/b) = loga1 – logab = 0 – logab = - logab. (menos log de b na base a).
Exemplo: colog10 = -log10 = -1. P3 - Logaritmo de uma potência Temos a seguinte fórmula, facilmente demonstrável: logabk = k.logab.
Exemplo: log5256 = 6.log525 = 6.2 = 12. P3.1 - Temos a seguinte fórmula: logak b = 1/k.logab Exemplo: log16 4 = log424 = (½).log4 4 = ½. P4 - Mudança de base: Às vezes, para a solução de problemas, temos necessidade de mudar a base de um sistema de logaritmos, ou seja, conhecemos o logaritmo de N na base b e desejamos obter o logaritmo de N numa base a . Esta mudança de base, muito importante na solução de exercícios, poderá ser feita de acordo com a fórmula a seguir, cuja demonstração não apresenta dificuldades, aplicando-se os conhecimentos aqui expostos. Loga b = logcb/logca Exemplos:
a) log416 = log216 / log24 (2 = 4:2)
b) log864 = log264 / log28 (2 = 6:3)
c) log25125 = log5125 / log525 = 3 / 2 = 1,5. Temos então que 251,5 = 125. Na resolução de problemas, é sempre muito mais conveniente mudar um log de uma base maior para uma base menor, pois isto simplifica os cálculos. Duas consequências importantes da fórmula de mudança de base são as seguintes:
a) logab = logb / loga (usando a base comum 10, que não precisa ser indicada).
b) logab . logba = 1 Exemplos:
a) log37 . log73 = 1
b) log23 = log3 / log2 = 0,4771 / 0,3010 = 1,5850 A função logarítmica Considere a função y = ax, denominada função exponencial, onde a base a é um número positivo e diferente de 1, definida para todo x real. Observe que nestas condições, ax é um número positivo, para todo x ∈ R, onde R é o conjunto dos números reais. Denotando o conjunto dos números reais positivos por R+* , poderemos escrever a função exponencial como segue: f: R → R+*; y = ax , 0 < a ≠ 1 Estafunção é bijetora, pois:
a) É injetora, ou seja: elementos distintos possuem imagens distintas.
b) É sobrejetora, pois o conjunto imagem coincide com o seu contradomínio. Assim sendo, a função exponencial é bijetora e, portanto, é uma função inversível, ou seja, admite uma função inversa. Vamos determinar a função inversa da função y = ax , onde 0 < a ≠ 1.
Permutando x por y, vem: x = ay => y = logax Portanto, a função logarítmica é então: f: R+* → R ; y = logax , 0 < a ≠ 1.
Mais infomações acesse:
http://ellalves.net.br/textos/conteudo/71/funcao_exponencial
http://ellalves.net.br/textos/conteudo/73/funcao_logaritmica
LOG
Nestas condições, escrevemos simbolicamente: log416 = 2. Mais exemplos:
152 = 225, logo: log15 225 = 2
É fácil demonstrar as seguintes propriedades imediatas dos logaritmos, todas decorrentes da definição: P1) O logaritmo da unidade em qualquer base é nulo, ou seja:loga1 = 0 porque a0 = 1. P2) O logaritmo da base é sempre igual a 1, ou seja: logbb = 1 , porque b1 = b. P3) logaak = k, porque ak = ak. P4) Se logab = logac então podemos concluir que b = c. Esta propriedade é muito utilizada na solução de exercícios envolvendo equações onde aparecem logaritmos (equações logarítmicas). P5) alogab = b ou seja: a elevado ao logaritmo de b na base a é igual a b. Propriedades operatórias dos logaritmos P1 - Logaritmo de um produto O logaritmo de um produto é igual a soma dos logaritmos dos fatores, ou seja:
loga(b.c) = logab + logac Exemplo: log20 =log(2.10) = log2 + log10 = 0,3010 + 1 = 1,3010. Observe que como a base não foi especificada, sabemos que ela é igual a 10. P2 - Logaritmo de um quociente O logaritmo de uma fração ordinária é igual a diferença entre os logaritmos do numerador da fração e do denominador, ou seja: loga(b/c) = logab – logac. Exemplo: log0,02 = log(2/100) = log2 - log100 = 0,3010 - 2,0000 = -1,6990. Do exposto anteriormente, podemos concluir que, sendo log0,02 = -1,6990 então 10-1,6990 = 0,02. Da mesma forma podemos exemplificar:
log5 = log(10/2) = log10 - log2 = 1 - 0,3010 = 0,6990. Chamamos de cologaritmo de um número positivo b numa base a, ao logaritmo do inverso multiplicativo de N, também na base b. Ou seja:
cologab = loga(1/b) = loga1 – logab = 0 – logab = - logab. (menos log de b na base a).
Exemplo: colog10 = -log10 = -1. P3 - Logaritmo de uma potência Temos a seguinte fórmula, facilmente demonstrável: logabk = k.logab.
Exemplo: log5256 = 6.log525 = 6.2 = 12. P3.1 - Temos a seguinte fórmula: logak b = 1/k.logab Exemplo: log16 4 = log424 = (½).log4 4 = ½. P4 - Mudança de base: Às vezes, para a solução de problemas, temos necessidade de mudar a base de um sistema de logaritmos, ou seja, conhecemos o logaritmo de N na base b e desejamos obter o logaritmo de N numa base a . Esta mudança de base, muito importante na solução de exercícios, poderá ser feita de acordo com a fórmula a seguir, cuja demonstração não apresenta dificuldades, aplicando-se os conhecimentos aqui expostos. Loga b = logcb/logca Exemplos:
a) log416 = log216 / log24 (2 = 4:2)
b) log864 = log264 / log28 (2 = 6:3)
c) log25125 = log5125 / log525 = 3 / 2 = 1,5. Temos então que 251,5 = 125. Na resolução de problemas, é sempre muito mais conveniente mudar um log de uma base maior para uma base menor, pois isto simplifica os cálculos. Duas consequências importantes da fórmula de mudança de base são as seguintes:
a) logab = logb / loga (usando a base comum 10, que não precisa ser indicada).
b) logab . logba = 1 Exemplos:
a) log37 . log73 = 1
b) log23 = log3 / log2 = 0,4771 / 0,3010 = 1,5850 A função logarítmica Considere a função y = ax, denominada função exponencial, onde a base a é um número positivo e diferente de 1, definida para todo x real. Observe que nestas condições, ax é um número positivo, para todo x ∈ R, onde R é o conjunto dos números reais. Denotando o conjunto dos números reais positivos por R+* , poderemos escrever a função exponencial como segue: f: R → R+*; y = ax , 0 < a ≠ 1 Estafunção é bijetora, pois:
a) É injetora, ou seja: elementos distintos possuem imagens distintas.
b) É sobrejetora, pois o conjunto imagem coincide com o seu contradomínio. Assim sendo, a função exponencial é bijetora e, portanto, é uma função inversível, ou seja, admite uma função inversa. Vamos determinar a função inversa da função y = ax , onde 0 < a ≠ 1.
Permutando x por y, vem: x = ay => y = logax Portanto, a função logarítmica é então: f: R+* → R ; y = logax , 0 < a ≠ 1.
Mais infomações acesse:
http://ellalves.net.br/textos/conteudo/71/funcao_exponencial
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