Question

1) Determine o resultado da operação com números complexos abaixo 2i ( i sendo elevado a 8) + (1 + 4i)²: 

2) Calcular as raízes quadradas do número complexo 5-12i

3) Seja z=(3y-15)+2xi , w=(y-5)+xi e t=8+ (5x-10)i. Se z+w=t  , então determine os valores de x e y:

Answer 1

Primeiro precisamos saber esses valores. Para poder trabalhar com números complexos: 
$i^{0} =1$
$i^{1} =i$
$i^{2} =-1$
$i^{3} =-i$
(a partir daqui vai se repetindo os valores)
1)
2iˆ8 + (1+4i)² 
2.(1) + 1+8i+ 16i²
2+1+8i+16.(-1)
3-16+8i
-13+8i

2)$\sqrt{5-12i} = x+yi$
$( \sqrt{5-12i})^{2} = (x+yi)^{2}$
5-12i = x² - y² + 2xyi      ==>       x²-y² = 5
                                                   2xy= -12
isolando y na equaçao inferior:
y= -6/x

substituindo y na primeira:
 x²-y² = 5
 x²-(-6/x)² = 5
 x²-(-6/x)² = 5
x²-36/x² = 5    *(x²)
x².x² - 36 =5x²
(x²)²-5x²-36=0    sendo x²=k
k²-5k-36=0   resolvendo  por Báscara teremos:
k1=  -4    (não utilizaremos -4 devido ser negativo e nos reais nao calculamos raiz negativa)
k2= 9         k=x²    x²=9   x= +-√9     x= +3 e  -3

substituindo o valor de x em :
y= -6/x
y=-6/3     e  y= -6/-3
y=-2              y = 2
Ficando:
-3+2i
3-2i

3) para soma de complexos devemos somar parte real com real e imaginária com imaginária:
      z                     w                 t
((3y-15)+2xi) +((y-5)+xi) = 8+ (5x-10)i
(3y+y -15-5)+(2x+x)i = 8+ (5x-10)i
(4y-20)+(3x)i=8+ (5x-10)i

Parte real                Parte imaginária
4y-20=8                 3xi= 5xi-10i
4y=8+20                3xi-5xi= -10i
4y=28                    -2xi = -10i       *(-1)
y=28/4                   2xi=10i
y= 7                        x=10i/2i
                               x=5

Espero ter ajudado Mirian. Regards!