Question

Log ( x+4) +Log ( x -4 ) -2 log 3 =0

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Isabela, que a resolução é simples.
Tem-se a seguinte  expressão logarítmica na base 10, pois quando a base é omitida subentende-se que ela seja "10":

log₁₀ (x+4) + log₁₀ (x-4) - 2log₁₀ (3) = 0  ---- vamos passar o "2" como expoente do log (3). Assim:

log₁₀ (x+4) + log₁₀ (x-4) - log₁₀ (3²) = 0 --- ou apenas:
log₁₀ (x+4) + log₁₀ (x-4) - log₁₀ (9) = 0

Agora vamos para as condições de existência. Como só existem logaritmos de números positivos (>0), então vamos impor que os logaritmandos "x+4" e "x-4" sejam maiores do que zero. Assim:

x+4 > 0 -----> x > - 4
e
x-4 < 0 -----> x > 4 .

Agora note: entre ser "x" maior do que "-4" e ser maior do que "4" vai prevalecer x > 4, pois sendo "x" maior do que "4" já é maior do que "-4".
Assim, a condição de existência será esta:

x > 4 .

Bem, vamos guardar a condição de existência aí em cima e vamos trabalhar com a nossa expressão logarítmica, que é esta:

log₁₀ (x+4) + log₁₀ (x-4) - log₁₀ (9) = 0 ---- vamos transformar a soma em produto, ficando:

log₁₀ [(x+4)*(x-4)] - log₁₀ (9) = 0 ---- agora transformaremos a subtração em divisão, ficando assim:

log₁₀ [(x+4)*(x-4)/9] = 0 ----- agora vamos aplicar a definição de logaritmos. Assim, aplicando-a teremos que isto é a mesma coisa que:

10⁰ = (x+4)*(x-4)/9 ---- como 10⁰ = 1, teremos:
1 = (x+4)*(x-4)/9 ---- multiplicando-se em cruz, teremos:
9*1 = (x+4)*(x-4) ----- efetuando-se os produtos indicados nos 2 membros,teremos:

9 = x² - 16 ---- passando "-16" pra o 1º membro, ficaremos:
9+16 = x²
25 = x² --- vamos apenas inverter, ficando:
x² = 25
x = +-√(25) --------- como √(25) = 5, teremos:
x = +-5 ----- mas veja que já vimos que "x" deverá ser maior do que "4", conforme a condição de existência que vimos logo no início. Então só será válida a raiz positiva e igual a:

x = 5 <--- Esta é a resposta. Este é o valor de "x" procurado.

Se você quiser, poderá apresentar o conjunto-solução da seguinte forma, o que quer dizer a mesma coisa:

S = { 5 } .

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.

Answer 2

x + 4 > 0 ⇒ x > -4
x - 4 > 0 ⇒ x > 4

log _(x + 4)(x - 4)_ = 0
             3²

_(x + 4)(x -4)_ = 10^0
           9
x² - 16 = 9(1)
x² = 25
x' =  5
x'' = -5 (não satisfaz condição de existência de x > -4)!!
Resposta: x = 5