Question

Determine uma P.A. de 60 termos em que a soma dos 59 primeiros é 12 e a soma dos 59 últimos é 130

Answer 1

Queremos encontrar uma progressão aritmética de forma que

$\begin{array}{lc}\mathtt{a_1+a_2+\ldots+a_{59}=12}&\quad\mathtt{(i)}\\\\ \mathtt{a_2+a_3+\ldots+a_{60}=130}&\quad\mathtt{(ii)}\end{array}$


Algo interessante acontece se subtrairmos as duas equações acima membro a membro.

Do lado esquerdo haverá vários cancelamentos de termos opostos. Observe:

Fazendo $\mathtt{(ii)}-\mathtt{(i)}:$

$\mathtt{(a_2+a_3+\ldots+a_{60})-(a_1+a_2+\ldots+a_{59})=130-12}\\\\ \mathtt{a_{60}-a_1=118}\quad\quad\quad\texttt{mas }\mathtt{a_{60}=a_1+59r}\\\\ \mathtt{(a_1+59r)-a_1=118}\\\\ \mathtt{59r=118}\\\\ \mathtt{r=\dfrac{118}{59}}$

$\boxed{\begin{array}{c}\mathtt{r=2} \end{array}}$   <———   razão da P.A.

_________

Vamos encontrar o 1º termo usando a fórmula da soma da P.A.:

$\mathtt{S_{59}=\dfrac{(a_1+a_{59})\cdot 59}{2}}\\\\\\ \mathtt{2\cdot S_{59}=(a_1+a_{59})\cdot 59}\\\\ \mathtt{2\cdot S_{59}=(a_1+a_1+58r)\cdot 59}\\\\ \mathtt{2\cdot S_{59}=(2a_1+58r)\cdot 59}$


Substitua os valores conhecidos na igualdade acima e isole $\mathtt{a_1}:$

$\mathtt{2\cdot 12=(2a_1+58\cdot 2)\cdot 59}\\\\ \mathtt{\diagup\!\!\!\! 2\cdot 12=\diagup\!\!\!\! 2\cdot (a_1+58)\cdot 59}\\\\ \mathtt{12=(a_1+58)\cdot 59}\\\\ \mathtt{\dfrac{12}{59}=a_1+58}\\\\\\ \mathtt{a_1=\dfrac{12}{59}-58}\\\\\\ \mathtt{a_1=\dfrac{12}{59}-\dfrac{59\cdot 58}{59}}\\\\\\ \mathtt{a_1=\dfrac{12}{59}-\dfrac{3\,422}{59}}$

$\boxed{\begin{array}{c}\mathtt{a_1=-\,\dfrac{3\,410}{59}} \end{array}}$   <———    1º termo da P.A.

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A fórmula geral da P.A. procurada é

$\mathtt{a_n=a_1+(n-1)\cdot r}\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathtt{a_n=-\,\dfrac{3\,410}{59}+(n-1)\cdot 2}\end{array}}\quad\quad\texttt{com }\mathtt{n=1,\,2,\,3,\,\ldots}$


E caso queira-se listar os primeiros termos, é só substituir os valores de $\mathtt{n}:$

$\mathtt{\left(-\,\dfrac{3\,410}{59},\,-\,\dfrac{3\,410}{59}+2,\,-\,\dfrac{3\,410}{59}+4,\,\ldots \right )}\\\\\\ \mathtt{\left(-\,\dfrac{3\,410}{59},\,-\,\dfrac{3\,174}{59},\,-\,\dfrac{3\,056}{59},\,\ldots \right )}$



Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :-)