Question

Atividade de matemática

1º Escalone o sistema:

{ x + 2y + z = 7
{ 2x + 7y + z = 21
{ -3x - 5y+ 2z = -8

Answer 1

Para escalonar o sistema de equações lineares, vamos fazer as operações elementares sobre as linhas do sistema:

(As operações que devem ser feitas estarão indicadas à direita das equações)


$\left\{\! \!\begin{array}{rcrcrcrc} x&\!\!\!+\!\!\!&2y&\!\!\!+\!\!\!&z&\!\!\!=\!\!\!&7&\\ 2x&\!\!\!+\!\!\!&7y&\!\!\!+\!\!\!&z&\!\!\!=\!\!\!&21&\quad\quad L_2\leftarrow L_2-2L_1\\ -3x&\!\!\!-\!\!\!&5y&\!\!\!+\!\!\!&2z&\!\!\!=\!\!\!&-8&\quad\quad L_3\leftarrow L_3+3L_1 \end{array} \right.\\\\\\\\ \left\{\! \!\begin{array}{rcrcrcrc} x&\!\!\!+\!\!\!&2y&\!\!\!+\!\!\!&z&\!\!\!=\!\!\!&7&\\ (2-2\cdot 1)x&\!\!\!+\!\!\!&(7-2\cdot 2)y&\!\!\!+\!\!\!&(1-2\cdot 1)z&\!\!\!=\!\!\!&21-2\cdot 7&\\ (-3+3\cdot 1)x&\!\!\!+\!\!\!&(-5+3\cdot 2)y&\!\!\!+\!\!\!&(2+3\cdot 1)z&\!\!\!=\!\!\!&-8+3\cdot 7& \end{array} \right.$


$\left\{\! \!\begin{array}{rcrcrcrc} x&\!\!\!+\!\!\!&2y&\!\!\!+\!\!\!&z&\!\!\!=\!\!\!&7&\\ &&3y&\!\!\!-\!\!\!&z&\!\!\!=\!\!\!&7&\\ &&y&\!\!\!+\!\!\!&5z&\!\!\!=\!\!\!&13&\quad\quad L_3\leftarrow L_3-\frac{1}{3}L_2 \end{array} \right.\\\\\\\\ \left\{\! \!\begin{array}{rcrcrcrc} x&\!\!\!+\!\!\!&2y&\!\!\!+\!\!\!&z&\!\!\!=\!\!\!&7&\\ &&3y&\!\!\!-\!\!\!&z&\!\!\!=\!\!\!&7&\\ &&\left(1-\frac{1}{3}\cdot 3\right)\!y&\!\!\!+\!\!\!&\left(5-\frac{1}{3}\cdot (-1)\right)\!z&\!\!\!=\!\!\!&13-\frac{1}{3}\cdot 7& \end{array} \right.$


$\left\{\! \!\begin{array}{rcrcrcrc} x&\!\!\!+\!\!\!&2y&\!\!\!+\!\!\!&z&\!\!\!=\!\!\!&7&\\ &&3y&\!\!\!-\!\!\!&z&\!\!\!=\!\!\!&7&\\ &&&&\frac{16}{3}z&\!\!\!=\!\!\!&\frac{32}{3}&\quad\quad L_3\leftarrow \frac{3}{16}L_3 \end{array} \right.\\\\\\\\ \left\{\! \!\begin{array}{rcrcrcrc} x&\!\!\!+\!\!\!&2y&\!\!\!+\!\!\!&z&\!\!\!=\!\!\!&7&\\ &&3y&\!\!\!-\!\!\!&z&\!\!\!=\!\!\!&7&\\ &&&&\left(\frac{16}{3}\cdot \frac{3}{16}\right)\!z&\!\!\!=\!\!\!&\frac{32}{3}\cdot \frac{3}{16}& \end{array} \right.$



Finalmente, chegamos ao sistema escalonado:

$\left\{\! \!\begin{array}{rcrcrcrc} x&\!\!\!+\!\!\!&2y&\!\!\!+\!\!\!&z&\!\!\!=\!\!\!&7&\\ &&3y&\!\!\!-\!\!\!&z&\!\!\!=\!\!\!&7&\\ &&&&z&\!\!\!=\!\!\!&2& \end{array} \right.$


Da última equação já tiramos diretamente o valor de $z.$ Substituindo na 2ª equação, obtemos

$3y-2=7\\\\ 3y=7+2\\\\ 3y=9\\\\ y=3$


E por fim, substituindo os valores na 1ª equação,

$x+2\cdot 3+2=7\\\\ x+6+2=7\\\\ x+8=7\\\\ x=7-8\\\\ x=-1$


Solução do sistema:  $S=\{(-1,\,3,\,2)\}.$


Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :-)