Question

III)Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas dadas, em torno do eixo indicado.

a) Y = x^3 ; x 2 e o eixo x, em torno do eixo y (Usar método do anel e invólucro)

Answer 1

Vamos calcular pelo anel primeiramente.

Como o solido foi rotacionado no eixo y,

Devemos traçar uma reta auxiliar que seja perpendicular ao eixo de rotação. Para descobrir o valor do raio.

Mas, com isso. O raio varia na direção do eixo x. Logo, devemos isolar x nas duas funções.

y = x³

x = ∛y
-------------

y = x²

x = √y
-------------

R² = Função superior ² - Função inferior²

R² = (∛y)² - √y²

R² =  ∛y² - y
--------------

Agora, y varia como constante:

√y = ∛y

Unico valor possivel é y = 0 ou y = 1


logo,



$\\ V = \pi \int\limits^1_0 {( \sqrt[3]{y^2}-y) } \, dy \\ \\ V = \pi \int\limits^1_0 {(y^ \frac{2}{3} -y)} \, dy \\ \\ V = \pi ( \frac{y^ \frac{2}{3} ^+^1}{ \frac{2}{3}+1 }-\frac{y^2}{2} )|(0,1) \\ \\ V = \pi ( \frac{y^ \frac{5}{3}}{ \frac{5}{3}}-\frac{y^2}{2} )|(0,1) \\ \\ V = \pi ( \frac{1}{\frac{5}{3}} -\frac{1}{2} ) \\ \\ V = \pi ( \frac{3}{5}- \frac{1}{2} ) \\ \\ V = \frac{ \pi }{10} u.v$
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Agora ao utilizarmos o método das cascas cilíndricas.

Devemos traçar uma reta auxiliar paralela ao eixo de rotação. Com isso, determinar Δh

V = ∫ 2πxΔh

Ao traçarmos uma reta paralela ao eixo y,

Δh = x² - x³

Agora, o valor de x, é a distancia da curva ao eixo de rotação.

d =  x - 0

d = x

E os limites é a interseção das curvas.

x² =x³

x³ - x² = 0

x²(x-1) = 0

x = 0 ou x = 1

Logo,


$\\ V = 2 \pi \int\limits^1_0 {x(x^2-x^3)} \, dx \\ \\ V = 2 \pi \int\limits^1_0 {(x^3-x^4)} \, dx \\ \\ V = 2 \pi ( \frac{x^4}{4} - \frac{x^5}{5} )|(0,1) \\ \\ V = 2 \pi ( \frac{1}{4} - \frac{1}{5} ) \\ \\ V = 2 \pi ( \frac{1}{20} ) \\ \\ V = \frac{1}{10} u.v$