Question

Ajuda -> Números Complexos! Seja o número complexo Z = 2 * i^243 / (1 - i)^2. A imagem de Z no plano complexo é um ponto que pertence, ao eixo real, eixo imaginário, primeiro, segundo, terceiro ou quarto quadrante? Prove.

Answer 1

Vamos escrever $z$ na forma $z=a+bi$ (forma algébrica)
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$z=2\dfrac{i^{243}}{(1-i)^{2}}=2\dfrac{i^{240}\cdot i^{3}}{(1^{2}-2\cdot1\cdot i+i^{2})}\\\\\\=2\dfrac{(i^{4})^{60}\cdot i^{2}\cdot i}{1-2i+i^{2}}$

Sabendo que $i^{2}:=-1$, temos $i^{4}=1$

$z=2\dfrac{1^{60}\cdot(-1)\cdot i}{(1-2i-1)}\\\\\\z=-2\cdot\dfrac{i}{(-2i)}\\\\\\\boxed{\boxed{z=1=1+0i}}$

Dado que um número complexo $z=a+bi$ é representado no plano complexo pelo ponto $(a,b)$ e que a reta $(x,0)$ é chamada de eixo real, já a reta $(0,y)$ é chamada de eixo imaginário, temos que o número $z=1+0i$ é representado por $(1,0)$ no plano, portanto está no eixo real (pois $z$ é um número real).