Question

Existe algum inteiro n de modo que n/2+n/3+n/4 = n?

Answer 1

Olá.

Vamos pensar assim.
Precisamos escolher um número que seja divisível por 2,3,4 e não dê valor quebrado.
Vamos enumera um conjunto desses possíveis números e aplicar um a um ( Força bruta ) rs.
Vou chamar esse conjunto de S.
S={12,24,36,48} perceba que é uma P.A. Isso não interfere no resultado, apenas uma observação.

Vamos pegar o 12:
$\frac{n}{2} + \frac{n}{3}+ \frac{n}{4} = n \\ \frac{12}{2} + \frac{12}{3}+ \frac{12}{4} = 12 \\ 6 + 4 + 3 = 12 \\ 13 \neq 12$

Vimos que o 12 não vai resolver nosso problema.
Vamos pegar o próximo número do conjunto.
$\frac{n}{2}+ \frac{n}{3}+ \frac{n}{4} = n \\ \frac{24}{2}+ \frac{24}{3}+ \frac{24}{4} = 24 \\ 12 + 8 + 6 = 24 \\ 26 \neq 24$

Perceba que o número vai aumentando em sequência como a PA mostrou, e não vai haver para um número inteiro um resulto possível para esse problema.
 

Answer 2

(n/2)+(n/3)+(n/4)=n      m.m.c.(2, 3, 4)=12
6n+4n+3n=12n
13n=12n

Como o conjunto dos inteiros é:
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}

Observamos que 13n=12n será verdadeiro quando n for igual a zero.

Observação:
Zero dividido por qualquer número não nulo é zero pois zero multiplicado por qualquer número não nulo é o próprio zero.