Question

Obtenha x para que (x2, (x+1)2, (x+3)2 seja P.A

Answer 1

a1 = x²
a2 = ( x + 1)²
a3 =( x + 3)²
pelas propriedades temos que
( a1 + a3)/2 = a2
[ x² + (x+3)² ]  = ( x + 1)²
Nota
( x + 3)² = x² + 2*3*x + 3²  = x² + 6x + 9
( x + 1)² = x² + 2 * x * 1 + 1²  = x² + 2x + 1
reescrevendo
[ x² + (x² + 6x + 9)]/2  = x² + 2x + 1
[ 2x² + 6x + 9 ]/2  = [ x² + 2x + 1]/1
multiplica em cruz
1( 2x² + 6x + 9 ) = 2 ( x² + 2x + 1)
2x² + 6x + 9 = 2x² + 4x + 2
2x² - 2x² + 6x - 4x + 9 - 2 = 0
2x + 7 = 0
2x = -7
x = -7/2

x² = ( -7/2)² = 49/4 ***
( x + 1 )² = ( -7/2 + 1/1)² =  ( -7 + 2)/2 =( -5/2)² = 25/4 ****
( x + 3)² = ( -7/2 + 3/1)² =  ( -7 + 6 )/2 = ( -1/2)² = 1/4 *****
PA { 49/4 , 25/4 , 1/4 ]

Answer 2

(x+1)² = x² + 2x + 1
(x+3)² = x² + 6x + 9 

Então a PA é:

x², x²+2x+1, x² +6x+9 

Uma propriedade da PA de 3 termos é podemos dizer que a2 = a1+a3/2, isto é o segundo termo é uma media aritmética do primeiro com o terceiro termo, então:

x² + 2x + 1 = (x² + x² + 6x + 9)/2
x² + 2x + 1 = (2x² + 6x + 9)/2               passa o 2 pro outro lado multiplicando:
2.(x² + 2x + 1) = 2x² + 6x + 9
2x² + 4x + 2 = 2x² + 6x + 9
2x² - 2x² + 4x - 6x = 9 - 2
- 2x = 7
x = - 7/2

Então o valor de x é - 7/2 ou -3,5.

Prova real:

Vamos montar a PA substituindo x:
a1 = (-3,5)² = 12,25 
a2 = (-3,5+1)² = - 2,5² = 6,25
a3 = (-3,5+3)² = - 0,5² = 0,25

Podemos perceber que é uma PA de razão  - 6.

Bons estudos