Question

Marque a alternativa que corresponde área da região compreendida entre as curvas y=x e y=-x^2 para -2<= x <=0

Answer 1

Vamos lá.

Elitenório, estamos entendendo que você deverá utilizar a integral definida ente "-2" e "0", já que temos o limite de: -2 ≤ x ≤ 0, para calcular a área compreendida entre os gráficos das funções:

y = x       . (I) 
e
y = -x² - x    . (II)

Então vamos calcular as integrais das expressões (I) e (II). Assim:

i) Cálculo da integral definida (entre "-2" e "0") da expressão (II)
..₀
∫₋₂ (-x²-x) dx = -x³/3 - x²/2 + c

ii) Cálculo da integral definida (entre "-2" e "0") da expressão (I):

..₀
∫₋₂ (x) dx = x²/2 + c

iii) Agora deveremos substituir o "x" por "-2" e depois por "0". Mas como ao substituirmos por "0" vamos encontrar resultado zero, então vamos substituir apenas por "-2". Assim, teremos:

iii.a) Substituindo o "x" por "-2" na primeira expressão, que é (vamos desprezar a constante "c"):

-x³/3 - x²/2  ----- substituindo-se por "-2", teremos:

-(-2)³/3 - (-2)²/2 + c = 8/3 - 4/2 + c= -8/3 - 2 + c ---> mmc = 3. Assim:

(1*8 - 3*2+))/3 = (8-6)/3 = 2/3

iii.b) Substituindo-se "x" por "-2" na 2ª expressão, teremos (também vamos desprezar a constante "c"):
 
x²/2 ---- substituindo-se "x" por "-2", teremos:
 
(-2)²/2 = 4/2 = 2.

iii.c) Agora vamos subtrair o módulo do resultado da primeira expressão menos o resultado da segunda expressão. Assim:

|2/3 - 2| = |(1*2 - 3*2)/3| = |(2-6)/3| = |-4/3| = 4/3 u.a <--- Esta deverá ser a resposta. É a 4ª opção.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.