Question

$A\ area\ da\ superficie\ z= x^{2} +2y\ esta\ acima\ da\ regiao\ triangular\ T$$no\ plano\ xOy\ calculada\ pela\ integral\ \int\limits^1_0 { \int\limits^x_0 { \sqrt{4 x^{2} +5} \ } \, dy } \, dx .$

$Com\ base\ nisso,\ a\ area\ da\ regiao\ descrita\ vale,aproximadamente:$

a) 1,31
b) 0,86
c) 0,64
d) 1,64
e) 2,36

Answer 1

Para y, x é contante

Então,

$\\ \int\limits^1_0 {} \, \int\limits^x_0 { \sqrt{4x^2+5} } \, dydx = \int\limits^1_0 {} \,y \sqrt{4x^2+5} |(0,x)dx \\ \\ = \int\limits^1_0 {} \,(x \sqrt{4x^2+5})dx$

Façamos 4x²+5 = u

$\\ u = 4x^2+5 \\ \\ \frac{du}{dx} = 8x \\ \\ du = 8xdx \\ \\ \frac{du}{8} = xdx$

Vamos mudar o limite de integração:

"X" começa em 0, e termina em 1

u = 4x²+5

u = 4.0²+5

u = 5

E

u = 4x²+5

u = 4.1²+5

u = 9
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Então, só substituir:

$\\ \int\limits^1_0 {(x \sqrt{4x^2+5} )} \, dx = \int\limits^9_5 {( \sqrt{u} )} \, \frac{du}{8} \\ \\ = \frac{1}{8} \int\limits^9_5 {u^ \frac{1}{2} } \, du \\ \\ = \frac{1}{8}( \frac{u^ \frac{3}{2} }{\frac{3}{2}} )|(5,9) \\ \\ = \frac{1}{8}( \frac{2 \sqrt[2]{u^3} }{3} )|(5,9) \\ \\ = \frac{1}{8}( \frac{2 \sqrt[2]{9^3} }{3} - \frac{2 \sqrt[2]{5^3} }{3} ) \\ \\ = \frac{1}{8}( \frac{54-10 \sqrt{5} }{3} )$

= ≈ 1,31