Question

Cálculo três ensino superiorCalcule na forma tradicional !(sem usar teorema)

Calcule a integral de linha do segmento f.dr onde f(x,y,z)= cosx i + xz j + xy k, e c e o segmento de reta (0,1,1) a (2,1,2)

Answer 1

Temos o campo vetorial dado por:

F(x,y,z) = Cos(x)i +xzj + xyk

Onde,

C é  segmento que une o ponto (0,11) a (2,1,2) nesse sentido.

Achando o vetor direto da reta:


$\\ P_{1} P_{2} = P_{2} - P_{1} \\ \\ P_{1} P_{2} = (2,1,2) - (0,1,1) \\ \\ P_{1} P_{2} = (2i, 0j, 1k)$

Sabemos que a equação de uma reta é dada da seguinte maneira:


$\\ r: (x,y,z) = ( x_{0} , y_{0} , z_{0} ) + t(a,b,c)$

Onde, xo, yo e zo é qualquer ponto pertencente a reta.

Já (a,b,c) é o vetor diretor. 

Desse modo, escolhendo o ponto inicial para xo , yo e zo, teremos:

$\\ r: (x,y,z) = (0,1,1) + t(2,0,1) \\ \\ (x,y,z) = (0,1,1) + t(2,0,1)$

Reescrevendo na forma paramétrica

x(t) = 2t

y(t) = 1

z(t) = 1+ t
-------------------------

Repare que x(t) começa em x = 0 , e termina em x = 2, de acordo com os pontos.

x(t) = 2t

0 = 2t

t = 0
----------------

x(t) = 2t

2 = 2t

t = 1
---------------

Ou seja,

$0 \leq t \leq 1$

Agora, basta substituir a parametrização no campo.

F(x, y, z) =  Cos(x)i +xzj + xyk

F(x(t), y(t), z(t) ) = Cos(2t)i +2t(1+t)j + 2t.1k

F((xt), y(t), z(t) ) = Cos(2t)i + (2t+2t²)j + 2tk
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Nossa integral era desse formato:

∫  F(x,y,z)dr = ∫  (Cosx dx + xzdy + xydz)
c                     c

Repare que falta calcularmos dx, dy e dz

x(t) = 2t

dx/dt = 2

dx = 2dt
-------------------------

y(t) = 1

dy/dt = 0

dy = 0
-------------------------

z(t) = 1+t

dz/dt = 1

dz = dt
-------------------------

Substituindo todas informações na integral:

∫ Cos(2t).2dt + (2t+2t²).0 + 2t.1dt
c

∫ (2Cos(2t) + 2t)dt
c

lembrando que "t" varia de 0 a 1, teremos:

$\\ = \int\limits^1_0 {(2Cos(2t)+2t)} \, dt \\ \\ = 2.\int\limits^1_0 {(Cos(2t)+t)} \, dt \\ \\ = 2.( \frac{Sen(2t)}{2} + \frac{t^2}{2} )|(0,1) \\ \\ = 2.( \frac{Sen(2)}{2} + \frac{1}{2} ) \\ \\ = Sen(2) + 1$