Question

Ajuda -> Números Complexos! Seja o número complexo Z = 2 * i^343 / (1 - i)^2. A imagem de Z no plano complexo é um ponto que pertence, ao eixo real,
eixo imaginário, primeiro, segundo, terceiro ou quarto quadrante? Prove.

Answer 1

Não altera, pois a diferença entre 343 e 243 é um múltiplo de 4

$i^{343}=i^{243+100}=i^{243}\cdot i^{100}=i^{243}\cdot(i^{4})^{25}=i^{243}\cdot1^{25}=i^{243}$

Portanto, temos exatamente a mesma resposta:

$z=2\cdot\dfrac{i^{343}}{(1-i)^{2}}=2\cdot\dfrac{i^{243}}{1^{2}-2\cdot1\cdot i+i^{2}}\\\\\\z=2\cdot\dfrac{i^{240}\cdot i^{3}}{1-2i+(-1)}=2\cdot\dfrac{(i^{4})^{60}\cdot i^{2}\cdot i}{(-2i)}=\dfrac{1^{60}\cdot(-1)\cdot i}{(-i)}=1$

Logo, z é um número real e, portanto, pertence ao eixo real do plano complexo.