Question

Na plataforma BRAINLY, em algumas categorias há um número médio de 3 perguntas a cada 2 segundos

Questão – a) Qual é a probabilidade de se terem no máximo 2 perguntas em 2 segundos

Questão – b) Qual a probabilidade de não ser colocada nenhuma pergunta durante 2 segundos

Questão – c) Qual a probabilidade de serem colocadas 9 perguntas em 2 segundos

Answer 1

Para esse problema temos

•   Variável aleatória X:   número de perguntas feitas;

•   parâmetro λ:   indica o número médio de 3 perguntas por 2 segundos

                              λ = 3


X possui distribuição Poisson, com parâmetro λ = 3. A probabilidade de ocorrência de exatamente k perguntas feitas em 2 segundos é dada por

$\mathtt{p(X=k)=\dfrac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^k}{k!}}\\\\\\ \mathtt{p(X=k)=\dfrac{e^{-3}\cdot 3^k}{k!}}$


a) Queremos a probabilidade de no máximo 2 perguntas em 2 segundos, isto é

$\mathtt{p(0\le X\le 2)}\\\\ =\mathtt{p(X=0)+p(X=1)+p(X=2)}\\\\\\ =\mathtt{\dfrac{e^{-3}\cdot 3^0}{0!}+\dfrac{e^{-3}\cdot 3^1}{1!}+\dfrac{e^{-3}\cdot 3^2}{2!}}\\\\\\ =\mathtt{e^{-3}\cdot \left(\dfrac{3^0}{0!}+\dfrac{3^1}{1!}+\dfrac{3^2}{2!}\right)}\\\\\\ =\mathtt{e^{-3}\cdot \left(\dfrac{1}{1}+\dfrac{3}{1}+\dfrac{9}{2}\right)}\\\\\\ =\mathtt{e^{-3}\cdot \left(1+3+4,\!5\right)}\\\\ =\mathtt{8,\!5e^{-3}}\\\\ \approx \mathtt{8,\!5\cdot 0,04979}\\\\ \approx\mathtt{0,\!423}\\\\ =\boxed{\begin{array}{c}\mathtt{42,\!3\%} \end{array}}$

_______

b) A probabilidade de nenhuma pergunta ser colocada durante 2 minutos é

$\mathtt{p(X=0)}\\\\ =\mathtt{\dfrac{e^{-3}\cdot 3^0}{0!}}\\\\\\ \approx \mathtt{\dfrac{0,\!04979\cdot 1}{1}}\\\\\\ \approx \mathtt{0,\!0498}\\\\=\boxed{\begin{array}{c}\mathtt{4,\!98\%} \end{array}}$


_______

c) A probabilidade de serem colocadas 9 perguntas em 2 segundos é

$\mathtt{p(X=9)}\\\\ =\mathtt{\dfrac{e^{-3}\cdot 3^9}{9!}}\\\\\\ =\mathtt{e^{-3}\cdot\dfrac{3^9}{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}\\\\\\ =\mathtt{e^{-3}\cdot\dfrac{3^9}{3^2\cdot 8\cdot 7\cdot (3\cdot 2)\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}\\\\\\ =\mathtt{e^{-3}\cdot\dfrac{3^5\cdot \diagup\!\!\!\!\! 3^4}{\diagup\!\!\!\!\! 3^4\cdot 8\cdot 7\cdot 5\cdot 4\cdot 2^2\cdot 1}}\\\\\\ =\mathtt{e^{-3}\cdot\dfrac{243}{4480}}$

$\approx \mathtt{0,\!04979\cdot 0,\!05424}\\\\ \approx \mathtt{0,\!0027}\\\\ =\boxed{\begin{array}{c}\mathtt{0,\!27\%} \end{array}}$


Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :-)

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

Distribuição de Poisson:

$\sf P(x)=\dfrac{\lambda^{x}\cdot e^{-\lambda}}{x!}$

• $\sf x~\Rightarrow~$ número de sucessos

• $\sf \lambda~\Rightarrow~$ número médio de sucessos em um intervalo

a)

=> Para x = 0:

$\sf P(x)=\dfrac{\lambda^{x}\cdot e^{-\lambda}}{x!}$

$\sf P(x=0)=\dfrac{3^{0}\cdot e^{-3}}{0!}$

$\sf P(x=0)=\dfrac{1\cdot e^{-3}}{1}$

$\sf P(x=0)=e^{-3}$

=> Para x = 1:

$\sf P(x)=\dfrac{\lambda^{x}\cdot e^{-\lambda}}{x!}$

$\sf P(x=1)=\dfrac{3^{1}\cdot e^{-3}}{1!}$

$\sf P(x=1)=\dfrac{3\cdot e^{-3}}{1}$

$\sf P(x=1)=3\cdot e^{-3}$

=> Para x = 2:

$\sf P(x)=\dfrac{\lambda^{x}\cdot e^{-\lambda}}{x!}$

$\sf P(x=2)=\dfrac{3^{2}\cdot e^{-3}}{2!}$

$\sf P(x=2)=\dfrac{9\cdot e^{-3}}{2}$

$\sf P(x=2)=4,5\cdot e^{-3}$

A probabilidade se terem no máximo 2 perguntas em 2 segundos é:

$\sf P=P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)$

$\sf P=e^{-3}+3\cdot e^{-3}+4,5\cdot e^{-3}$

$\sf P=e^{-3}\cdot(1+3+4,5)$

$\sf P=e^{-3}\cdot8,5$

$\sf P=0,049787\cdot8,5$

$\sf P=0,42318$

$\sf \red{P=42,318\%}$

b)

Temos:

• $\sf \lambda=3$

• $\sf x=0$

A probabilidade de não ser colocada nenhuma pergunta durante 2 segundos é:

$\sf P(x)=\dfrac{\lambda^{x}\cdot e^{-\lambda}}{x!}$

$\sf P(x=0)=\dfrac{3^{0}\cdot e^{-3}}{0!}$

$\sf P(x=0)=\dfrac{1\cdot0,049787}{1}$

$\sf P(x=0)=0,049787$

$\sf \red{P(x=0)=4,9787\%}$

c)

Temos:

• $\sf \lambda=3$

• $\sf x=9$

A probabilidade de serem colocadas 9 perguntas em 2 segundos é:

$\sf P(x)=\dfrac{\lambda^{x}\cdot e^{-\lambda}}{x!}$

$\sf P(x=9)=\dfrac{3^{9}\cdot e^{-3}}{9!}$

$\sf P(x=9)=\dfrac{19683\cdot0,049787}{362880}$

$\sf P(x=9)=\dfrac{979,9575}{362880}$

$\sf P(x=9)=0,0027$

$\sf \red{P(x=9)=0,27\%}$