Question

Dada a função polinomial f(x) = x4 – x2, o intervalo no qual essa função é sempre positiva será:

Answer 1

Vamos lá.

Pede-se o intervalo em que a função abaixo será sempre positiva:

f(x) = x⁴ - x²  ------- note que poderemos colocar x² em evidência, com o que ficaremos:

f(x) = x²*(x² - 1) ----- vamos encontrar as raízes. Para isso, deveremos igualar f(x) a "0". Assim:

x²*(x²-1) = 0 ---- note que aqui temos o produto entre dois fatores cujo resultado é nulo. Quando isso ocorre, um dos fatores é nulo. Assim, teremos as seguintes possibilidades;

ou
x² = 0 ---> x' = x'' = 0
ou
x²-1 = 0 ---> x² = 1 ---> x = +-√1 ---->x''' = -1; ou x'''' = 1.

Bem, agora vamos ao que está sendo pedido, que é dar o intervalo em que a função f(x) = x⁴ - x² será sempre positiva.

Veja que, como queremos que ela seja sempre positiva, então estamos querendo que ela seja maior do que zero, ou:

x⁴ - x² > 0 ---- já vimos antes que esta função poderá ser reescrita assim:

x²*(x²-1) > 0

Note que na inequação-produto acima temos o produto entre duas funções do 2º grau, cujo resultado queremos que seja positivo (maior do que zero).
Temos f(x) = x² e temos g(x) = x²-1.

Já vimos também que f(x) = x² tem uma raiz dupla igual a "0" (ou seja: x'=x'' = 0).
E já vimos também que a g(x) = x²-1 tem raízes iguais a: x''' = -1 e x'''' = 1.

Agora faremos o seguinte: estudaremos a variação de sinais de cada uma das equações acima em função de suas raízes. Depois veremos em que intervalos esta inequação-produto dada será sempre positiva.
Assim, teremos:

a) f(x) = x² ...... + + + + + + + + + ++ + (0)+ + + + + + + + + + + + + + + + +
b) g(x) = x²-1...+ + + + + (-1)- - - - - - - - - - - - - - (1)+ + + + + + + + + + + +
c) a*b . . . . . . .. + + + + +(-1)- - - - - - -(0)- - - - - -(1)+ + + + + + + + + + + +

Como queremos o intervalo em que a função será sempre positiva, então só nos vai interessar onde tiver sinal MAIS no item "c" acima, que nos fornece o resultado do produto entre f(x) e g(x). Assim, a resposta será o seguinte intervalo aberto:

x < -1 , ou x > 1

Se você quiser, poderá apresentar o conjunto-solução (domínio) da seguinte forma, o que é a mesma coisa:

D = {x ∈ R | x < -1, ou x > 1}

Ou ainda, também se quiser, o domínio poderá ser expresso do seguinte modo, o que dá no mesmo:

D = (-∞; -1) ∪ (1; +∞)

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.