Question

Polinômios- 3º ano ens. médio- quero saber comoresolver

36-A equação x²+px+54=0, em que p é um coeficiente real, admite duas raízes, $r_1 e r_2$, tais que 2r1= 3r2. Qual o valor de P?(15, -15 no gabarito)

37-Resolva a equação 2x³-13x²+22x-8, sabendo que duas raízes são positivas e que uma é o produto das outras. (S={ 2,4,1/2} )

Answer 1

Olá, 

Você pode usar as relações de Girard, que é uma forma de relacionar os coeficientes do polinômio com as suas raízes. 
No exercício 36, temos um um polinômio do segundo grau, que é do tipo: ax²+bx+c = 0, assim vale as relações:

Soma das raízes = $x1+x2=\frac{-b}{a}$

Produto da raízes = $x1*x2= \frac{c}{a}$

Nesse caso, de x²+px+54=0 , temos que as raízes são r1 e r2, e os seguintes coeficientes:

a = 1
b = p
c = 54

Usando as relações:

$r1+r2=\frac{-b}{a} \\\\ r1+r2=\frac{-p}{1} \\\\ r1+r2=-p$

Essa é a equação que usaremos no final para descobrir o valor de p, não podemos usá-la ainda pois não temos os valores das raízes r1 e r2, mas podemos achar esses valores usando a relação do produto da raízes:

$r1*r2= 54\\\\ Mas\ veja \ que\ 2r1=3r2, logo \ r1= \frac{3r2}{2} ...\\\\ \frac{3r2}{2}*r2=54\\\\ (r2)^2 = 36\\\\ \boxed{r2= \pm6}$

r2 pode ser -6 ou 6, substituindo esses valores na equação dada no enunciado, achamos r1:

Para r2 = -6:

2r1 = 3r2
2r1 = 3(-6)
2r1 = -18
r1 = -9

Para r2 = 6

2r1 = 3(6)
r1 = 9 

Agora sim, usamos a primeira equação que encontramos para descobrir os valores de p:

-p = r1+r2

-p = 9 + 6
-p = 15
p = -15

ou

-p = -9-6
p = 15

Na questão 37 é a mesma lógica, o que muda é que no polinômio de grau 3, do tipo ax³+bx²+cx+d = 0, o termo c vai estar relacionado com a combinação das raízes dois a dois, e o sinal do coeficiente "d" que relaciona o produto das raízes vira negativo.

c/a = x1*x2 + x1*x3 + x2*x3

Produto das raízes:
-d/a = x1*x2*x3

Soma das raízes:
-b/a = x1+x2+x3

Vou chamar as raízes de "z", "j" e "k", e como uma é o produto das outras duas, temos z = j * k.

Assim, temos as relações:
22/2 = z*j + z*k + z
11 = z*j + z*k + z  (Colocando z em evidência)
11 = z(j+k+1)  (I)

8/2 = z*j*k
4 = z*j*k   (II)

13/2 = z+j+k   (III) 

Se z = j*k, podemos substituir na equação (II):

4 = z*z
4 = z²
z = 2
ou z = -2

Pela informação que duas raízes são positivas, se z fosse negativo, j e k necessariamente deveriam ser positivo, mas isso não pode acontecer pois x1*x2*x3 = 4 é um valor positivo. Então z = 2.

Substituindo z = 2 em (III):

13/2 = 2+j+k
j+k = 9/2
j = 9/2 - k

Substituindo j em z = j*k:

2 = (9/2-k) * k
2 = 9/2*k - k²
4 = 9k - 2k²
2k² - 9k + 4 = 0 
k = 1/2
ou k = 4

Se k = 1/2:

z = j * k
2 = j * 1/2
j = 4

Se k = 4:

z = j * k 
2 = j * 4 
j = 1/2

Então, temos S = {2,4,1/2}.

Bons estudos.