Question

O valor de x , de modo que a seqüência (3x +1, 34 - x,  33x +1) seja uma progressão geométrica é:
    A)      1     B)      2     C)      3     D)      4 

obs: o 3 está sendo elevado os outros números, 3 elevado a x+1, 3 elevado a 4-x e 3 elevado a 3x+1

Answer 1

$a1= 3^x+1$

$a2= 3^4^-^x$

$a3=3^3^x^+^1$

a razão de uma PG é dada por 

q= a2/a1=a3/a2

substituindo os valores 

$q= 3^4^-^x/ 3^x^+^1 = 3^3^x+^1/ 3^4^-^x$

está tudo na base 3 então somamos os expoentes e mutiplicamos em cruz

$3^(4^-^x^+^4^-^x^)= 3^(^3^x^+^1^+^x^+^1^)$

$3^(^8^-^2^x)=3^(^4^x^+^2^)$

observa... base igual,vamos trabalhar só com os expoentes

$8-2x= 4x+2$
$8-2=4x+2x$
$6=6x$
$x=6/6$
$x=1$

substituindo o valor do x

$a1=3^(^x^+^1^)= 3^(^1+^1^)= 3^2=9$
$a2= 3^(^4^-^x^)= 3^(^4^-~^1^)= 3^3= 27$
$a3= 3^(^3^+^x^)=3^(^3^+^1^)= 3^4 = 81$  

PG;(9,27,81)

Alternativa A

Bons Estudos !!! =)

Answer 2

Olá Beatriz,

sendo

$(3^{x+1},~3^{4-x},~3^{3x-1})$

três termos consecutivos em progressão geométrica, podemos aplicar a média geométrica que diz:

"O quadrado do termo central é igual ao produto dos termos extremos"

$(a_1,a_2,a_3)~\to~(a_2)^2=(a_1).(a_3)$

Aplicando esta propriedade, nos termos dados acima, teremos:

$(3^{4-x})^2=(3^{x+1}).(3^{3x+1})\\ 3^{2(4-x)}=3^{x+1+3x+1}\\ 3^{8-2x}=3^{4x+2}\\ \not3^{8-2x}=\not3^{4x+2}\\ 8-2x=4x+2\\ -2x-4x=2-8\\ -6x=-6\\\\ x= \dfrac{-6}{-6}\\\\ x=1$

Portanto, alternativa A .

Se quisermos, podemos escrever a P.G.:

$P.G.=(3^{x+1},~3^{4-x},~3^{3x+1})\\ P.G.=(3^{1+1},~3^{4-1},~3^{3*1+1})\\ P.G.=(3^2,~3^3,~3^4)\\\\ P.G.=(9,27,81)$

Espero ter ajudado vc e tenha ótimos estudos =))