Question

O polinômio 5x³ - 25x² - 20x + 100 é divisível pelo polinômio x² - 4 e pelo polinômio x² - 3x - 10. Qual é o polinômio que se obtem multiplicando-se os quocientes obtidos?

Answer 1

$5x^{3}-25x^{2}-20x+100$

Colocando 5x² em evidência nos 2 primeiros e 20 em evidência nos 2 últimos:

$5x^{2}(x - 5) - 20(x - 5)$

Colocando (x - 5) em evidência:

$(x-5)(5x^{2}-20)$

Colocando 5 em evidência no segundo fator:

$(x-5)(5[x^{2}-4])$

x² - 4 = x² - 2² --> Resultado de um produto notável

$x^{2}-y^{2}\rightleftharpoons (x+y)(x-y)$

Voltando:

$(x-5)(5[x^{2}-4])=(x-5)(5[x+2][x-2])\\\\\boxed{\boxed{5x^{3}-25x^{2}-20x+100=5(x-5)(x+2)(x-2)}}$
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Dividindo esse polinômio por x² - 4 = x² - 2² = (x + 2)(x - 2):

$\dfrac{5(x-5)(x+2)(x-2)}{(x+2)(x-2)}=5(x-5)=5x-25$

Dividindo esse polinômio por x² - 3x - 10:

Primeiro, vamos fatorar x² - 3x - 10:

S = -b/a = -(-3)/1 = 3
P = c/a = -10/1 = -10

Raízes: 2 números que quando somados dão 3 e quando multiplicados dão -10

$x'=5\\x''=-2$

$x^{2}-3x-10=(x-5)(x-[-2])\\x^{2}-3x-10=(x-5)(x+2)$

$\dfrac{5(x-5)(x+2)(x-2)}{(x-5)(x+2)}=5(x-2)=5x-10$
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$(5x-25)*(5x-10)=5x*5x-10*5x-25*5x+250\\(5x-25)*(5x-10)=25x^{2}-50x-125x+250\\(5x-25)*(5x-10)=25x^{2}-175x+250$