Question

Determine a função inversa bijetora.

f(x) = 5√x+3

Answer 1

f(x) = 5√x+3; faça f(x) = x e x = y
x = 5√y+3
x/5 = √y+3
(x/5)² = y+3
-y = 3-(x/5)²
-y = 3-x/25 (-1)
y = -3+x/25

Answer 2

f é Bijetora ⇔ f for injetora e sobrejetora

■ Sobrejetora: f: A → B então, dizemos que f é sobrejetora se:
∀ y ∈ B, Existe x ∈ A | f(x) = y, isto é, f é sobrejetora ⇔ Im(f) = B. 
(Todos elementos do contradomínio é imagem de algum x do domínio) 

■ Injetora: f:A→B
f é injetora  ⇔ (∀ x1, x2 ∈ A) (f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2) isto é, os elementos do domínio A terão imagens iguais pela f, se, e somente se, ele forem elementos iguais (x1 = x2). Ainda, f(x1) = f(x2) desde que x1 = x2. 

■ Satisfazendo essas duas condições dizemos que f é bijetora de A em B
A→Domínio ; B → Contradomínio

Exemplos: 
Função Sobrejetora. f: R → R onde  f(x) = x² (cada x tem duas imagens iguais)
Função Injetora. f: R+ → R onde  f(x) = x² (cada x tem uma imagem distinta da outra)

■ f(x) só será inversível se, e somente se, f for bijetora 

f(x) = 5√x + 3 é bijetora? Sim! Basta verificar.

a) f é sobrejetora? sim! f está definida em R+ em R. Todos os x do domínio tem imagem f(x) em R.  ok!!!

b) f é injetora? sim! todos x1, x2....do domínio R+ tem imagens distintas em R. 

■ Segue em anexo um gráfico da f para você analisar a bijeção.

Fazendo a inversa de f(x) = 5√x + 3 

1º) Troque f(x) por y 

y =  5√x + 3 

2º) Permutar x por y 

x = 5√y + 3

3º) Isolar y

x - 3 = 5√y ⇔ √y = (x -3)/5 ⇔ y = (x - 3)²/25

y = (x - 3)²/25

4º) Troque y por f-1(x)

f-1(x) = (x - 3)²/25

Pronto.

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27/09/2016
Sepauto 
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