Question

Uma empresa de confecção produz uma pequena quantidade, que é dado aproximadamente pela função C(t) = 4000 log3 (2+t) (log de 2+t na base 3), onde t é o número de meses e C é o número de confecções produzidas. Determine quanto é produzido em 7 meses, e qual o tempo necessário para que a produção seja o quadruplo da produção do 1º mês?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Kaamedeiros, que a resolução é simples.

Tem-se que a empresa de confecção produz segundo a seguinte função:

C(t) = 4.000*log₃ (2+t) , em que "t" é o número de meses e "C" é o número de confecções.

Bem, agora vamos por parte, tentando fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Encontrando a produção de confecções em 7 meses.
Para isso, iremos na expressão dada e substituiremos "t" por "7".
A expressão é esta:

C(t) = 4.000*log₃ (2+t) ---- substituindo-se "t" por "7", teremos:
C(7) = 4.000*log₃ (2+7)
C(7) = 4.000*log₃ (9) ----- veja que 9 = 3². Assim:
C(7) = 4.000*log₃ (3²) ---- passando o expoente multiplicando, teremos:
C(7) = 2*4.000*log₃ (3)
C(7) = 8*000*log₃ (3) ----- note que lot₃ (3) = 1. Assim:
C(7) = 8.000(1
C(7) = 8.000 confecções <--- Esta é a resposta para a primeira parte da questão, que pede o número de confecções durante 7 meses.

ii) Agora vamos para a segunda parte da questão, que pede: qual é o tempo necessário para que a produção seja o quádruplo da produção do 1º mês.
Veja: para isso, vamos, inicialmente, calcular qual foi a produção no 1º mês. Para isso, iremos na função original e substituiremos "t" por "1" (1º mês). Assim:

C(t) = 4.000*log₃ (2+t) ---- substituindo-se "t" por "1", teremos:
C(1) = 4.000*log₃ (2+1)
C(1) = 4.000*log₃ (3) ---- como log₃ (3) = 1, então teremos que:
C(1) = 4.000*1
C(1) = 4.000 confecções <---- Esta é a quantidade de confecções produzida no 1º mês.

Agora veja: é pedido: qual é o tempo necessário para que a produção seja o quádruplo da produção do 1º mês.
Ora, como já vimos aí em cima, que a produção do 1º mês foi de 4.000 confecções, então  o quádruplo disso será:

4*4.000 = 16.000 confecções.

Agora vamos encontrar qual é o tempo necessário (t) para que o número de confecções atinja 16.000.
Para isso, iremos na expressão original e substituiremos C(t) por "16.000", ou seja, se temos:

C(t) = 4.000*log₃ (2+t), então vamos substituir C(t) por "16.000", ficando:

16.000 = 4.000*log₃ (2+t) ---- vamos apenas inverter, o que é a mesma coisa:
4.000*log₃ (2+t) = 16.000 ---- isolando log₃ (2+t), teremos:
log₃ (2+t) = 16.000/4.000 ---- esta divisão dá exatamente igual a "4". Logo:
log₃ (2+t) = 4 ----- note que, conforme a definição de logaritmo, o que temos aqui é a mesma coisa que:

3⁴ = 2+t ------- como 3⁴ = 81, então ficaremos:
81 = 2 + t --- passando "2" para o 1º membro, teremos:
81 - 2 = t
79 = t ---- ou, invertendo:
t = 79 <--- Esta é a resposta. Deverão transcorrer 79 meses para que a produção passe a ser o quádruplo da produção do 1º mês.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.