Question

$a\ integral\ \int\limits^1_0\ \ \ \int\limits^z_0 \ \ \int\limits^{x+z} _ 06 {xz} \, \ dy \ dx \ dz \ \ .\ \ \ Vale:$


a) 1,0
b) 0,5
c) 0,8
d) 1,4
e) 1,8

Answer 1

Obs:

Como dy está em primeira ordem,

O integrando 6xz é constante na primeira integração.

$\int\limits^1_0 {} \, \int\limits^z_0 {} \, \int\limits^ \frac{x+z}{} _0 {6xz} \, dydxdz = \int\limits^1_0 {} \, \int\limits^z_0 {} \,6xz(y)|(0, x+z)dxdz \\ \\ =\int\limits^1_0 {} \, \int\limits^z_0 {} \,6xz(x+z)dxdz \\ \\ = \int\limits^1_0 {} \, \int\limits^z_0 {} \,(6x^2z+6xz^2)dxdz$

Para esse caso, x é variável e z constante.

$\int\limits^1_0 {} \, \int\limits^z_0 {} \,(6x^2z+6xz^2)dxdz= \int\limits^1_0 {} \, { (\frac{6x^3z}{3} + \frac{6x^2z^2}{2} )} \,|(0,z)dz \\ \\ = \int\limits^1_0 {} \, { (2x^3z+ 3x^2z^2} \,|(0,z)dz \\ \\ = \int\limits^1_0 {} \, { (2(z)^3z+ 3(z)^2z^2} \,dz \\ \\ = \int\limits^1_0 {} \, { (2z^4+ 3z^4)} \,dz \\ \\ = \int\limits^1_0 {} \, { (5z^4)} \,dz \\ \\ = \frac{5z^5}{5} |(0,1) \\ \\ = z^5|(0,1) \\ \\ = 1$