Question

Utilize o Pr´ıncipio da Indu¸c˜ao Matem´atica para mostrar que f´ormula exata da soma
dos n primeiros n´umeros naturais ´ımpares ´e dada por:
Sn = 1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) = n
2
.

Answer 1

Olá!

Queremos provar que:

Sn = 1+3+5+...+(2n-1) = n²

I) Provemos para n = 1:

S1 = 1 = 1² => 1 = 1 (V)

II) Suponhamos que vale para n = k:
Sk = 1+3+5+...+(2k-1) = k² (Hipótese de Indução)

III) Provemos para n = k+1, ou seja:
Sk+1 = 1+3+5+...+[2(k+1)-1] = (k+1)² --> Por um lado:

1+3+5+...+(2k-1)+[2(k+1)-1] = (k+1)² --> Substituindo a HI:
k²+[2(k+1)-1] = k²+2k+2-1 = k²+2k+1 = (k+1)² 

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Espero ter ajudado! :)