Question

Calcule $\lim _{x\to \:3}\left(\frac{x^{2000}-3^{2000}}{x-3}\right)$. Como esse limite se relaciona com uma derivada?

Acredito que seja para relacionar $f'\left(x\right)=\lim _{\Delta x\to 0}\:\frac{f\left(\Delta x+x_1\right)-f\left(x_1\right)}{\Delta x}$com o conceito de derivada:

Answer 1

 Seja $\mathsf{f}$ uma função definida em um intervalo aberto contendo $\mathsf{a}$, desse modo, a derivada de $\mathsf{f}$ em $\mathsf{a}$ é dada por:
 
$\mathsf{f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}}$.
 
 Isto posto, e, comparando a definição com o limite do enunciado (a ser calculado) tiramos que $\mathsf{f(x) = x^{2000}}$ e $\mathsf{a = 3}$.
 
 Desse modo,

$\mathsf{\frac{df}{dx} (a) = \frac{x^{2000} - a^{2000}}{x - a} \Leftrightarrow f(x) = x^{2000}}$
 
 Por conseguinte,

$\\ \mathsf{f(x) = x^{2000}} \\\\\\ \mathsf{\frac{df}{dx} = 2000 \cdot x^{1999}} \\\\\\ \boxed{\mathsf{\frac{df}{dx}(3) = 2000 \cdot 3^{1999}}}$