Question

[Analítica] - Sabendo que o vetor $\vec v=(2, 1, -1)$ forma um ângulo de 60° com o vetor $\overrightarrow {AB}$ determinado pelos pontos A(3, 1, -2) e B(4, 0, m), calcular m:

Olá, gostaria da resolução de vocês, tirei esse exercício de um livro, mas a resolução não estava muito clara (didaticamente) para mim.

O gabarito é m = -4 (raiz dupla)

Answer 1

Bom, eu não sei fazer a seta em cima da letra pra representar o vetor, então irei improvisar aqui o sinal do vetor usando o 'v' em cima.

Organizando as equações :

$cos(60)=\frac{1}{2}\\\\cosx=\frac{v^v *ab^v }{|v^v|.|ab^v|}$

Precisamos calcular o vetor de 'ab' que é igual a b-a:

$b-a=(4,0,m)-(3,1,-2)=(1,-1,m+2)\\ab^v =(1,-1,m+2)$

Agora encontrando o produto escalar entre os vetores:

$v^v *ab^v =(2,1,-1)*(1,-1,m+2)=(2-1-m-2)=(-1-m)\\v^v *ab^v =(-1-m)$

Módulo dos vetores:

$|v^v | = \sqrt{2^2+1^2+(-1)^2} = \sqrt{4+1+1} = \sqrt{6}\\|v^v |= \sqrt{6}\\\\|ab^v |= \sqrt{1^2+(-1)^2+(m+2)^2} \\|ab^v |= \sqrt{2+m^2+4m+4} \\|ab^v |= \sqrt{m^2+4m+6}$

Adicionando tudo na equação:

$\frac{1}{2}=\frac{-1-m}{ \sqrt{6} * \sqrt{m^2+4m+6} }\\\\\frac{1}{2}=\frac{-1-m}{\sqrt{6m^2+24m+36}}\\\\(-2-2m)^2=(\sqrt{6m^2+24m+36})^2\\\\4m^2+8m+4=6m^2+24m+36\\\\2m^2+16m+32=0 / 2\\\\m^2+8m+16=0\\\\(m+4)^2=0\\\\\sqrt{(m+4)^2}=0\\\\m+4=0\\\\m=-4$

No final eu não vou resolver por bhaskara pra não ficar muito grande e desnecessário, já que é um produto notável.