Question

deseja-se confeccionar caixas na forma de paralelepípedo para embalar 16 bolas de bilhar, todas com o mesmo diâmetro. Cada bola tangencia a tampa e o fundo da caixa e cada bola tangencia também uma outra bola que lhe é vizinha, ou uma parede da caixa.( Observação: Volume da esfera de raio r=4/3πr^3)a) quais devem ser as dimensões da caixa para que se use o minimo de material possível na sua confecção?b) qual é o volume, no interior da caixa, que não é ocupado pelas bolas?

Answer 1

Ok, primeiro, temos que calcular o comprimento da caixa.
Note que temos um quadrado perfeito como número de bolas de bilhar(16), então a caixa pode ser embalar as bolas '4x4'.

a) Para ter a dimensão dessa caixa, basta somar o diâmetro das bolas que ficarão dentro dela.

$l_{caixa}=4d$
$d=2r$
$l_{caixa}=8r$
$l_{caixa}=8*4$
$l_{caixa}=32$

Lembrando que a caixa é tridimensional, então ela também possui altura, que seria o diâmetro de apenas 1 bola.

$A_{caixa}=l.l.h$
$A_{caixa}=32.32.8$

Resposta a) 32x32x8

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Agora, vamos calcular a area(para o exercício b)

$A_{caixa}=32.32.8$
$A_{caixa}=8192$

Agora é só subtrair essa Area total da area das 16 bolas que ficarão contidas nela.

$A_{bola}=\frac{4}{3}.\pi.r^3$
$A_{bola}=\frac{4}{3}.\pi.4^3$
$A_{bola}=\frac{4}{3}.3,14.64$
$A_{bola}=\frac{4}{3}.200$
$A_{bola}=150$

Lembrando que tem que multiplicar por 16...

$A_{bolas}=150*16$
$A_{bolas}=2400$

E pronto! Basta subtrair agora!

$A_{restante}=A_{caixa}-A_{bolas}$
$A_{restante}=8192-2400$
$A_{restante}=5792$

Espero ter ajudado!