Question

(Uff-Rj) O conjunto imagem da função f(x): cos²x- sen²x+3 é:?

Answer 1

A relação fundamental trigonométrica nos diz que:

$sen^2x+cos^2x=1$
$cos^2x=1-sen^2x$(1)

Foi dado que $f(x)=cos^2x-sen^2x+3$ (2)

Substituindo (1) em (2) obtemos:

$f(x)=1-sen^2x-sen^2x+3$

$f(x)=-2sen^2x+4$

Uma propriedade de $senx$ é que $-1 \leq senx \leq 1$, o que implica que:

$0 \leq sen^2x \leq 1$, multiplicando por -1 em ambos os lados obtemos:

$0 \geq -sen^2x \geq -1$, multiplicando por 2 temos que:

$0 \geq -2sen^2x \geq -2$, somando 4 em ambos os lados obtemos:

$4 \geq -2sen^2x+4 \geq 2$, o que implica que

$4 \geq f(x) \geq 2$, e portanto:

$Imf=[2,4]$