Question

Inequações Simultâneas
I)-5x+6>-x2 (para poupar tempo em digitação nao precisa digitar essa na resposta apenas a segunda como resolver e por final a tabela da interseção das duas e solução)
II)-x² \geq -3x+10

Answer 1

$\left\{\! \begin{array}{rclc} \mathtt{-5x+6}&\!\!>\!\!&\mathtt{-x^2}&\quad\mathtt{(I)}\\ \mathtt{-x^2}&\!\!\ge\!\! &\mathtt{-3x+10}&\quad\mathtt{(II)} \end{array} \right.$


Resolva as inequações separadamente, e faça a interseção das soluções.


•  Resolvendo a inequação $\mathtt{(I):}$

$\mathtt{-5x+6>-x^2}\\\\ \mathtt{x^2-5x+6>0}\\\\ \mathtt{x^2-3x+3x-5x+6>0}\\\\ \mathtt{x^2-3x-2x+6>0}\\\\ \mathtt{x(x-3)-2(x-3)>0}\\\\ \mathtt{(x-3)(x-2)>0}$


É uma inequação-produto. Analisando os sinais dos fatores:

$\begin{array}{cc} \mathtt{(x-3)}~~&\underline{----}\underset{2}{\bullet}\underline{------}\underset{3}{\bullet}\underline{++++}\\\\ \mathtt{(x-2)}~~&\underline{----}\underset{2}{\bullet}\underline{++++++}\underset{3}{\bullet}\underline{++++}\\\\\\ \mathtt{(x-3)(x-2)}~~&\underline{++++}\underset{2}{\bullet}\underline{------}\underset{3}{\bullet}\underline{++++} \end{array}$


Como queremos que o produto seja positivo, o intervalo de interesse é

$\mathtt{x<2~~ou~~x>3}\\\\\\ \begin{array}{cc} \mathtt{S_{(I)}:}~~&\underline{***\,*}\underset{2}{\circ}\underline{\quad\quad\quad\quad}\underset{3}{\circ }\underline{***\,*} \end{array}\\\\\\ \mathtt{S_{(I)}=\left]-\infty,\,2\right[\,\cup\,\left]3,\,+\infty\right[.}$


•  Resolvendo a inequação $\mathtt{(II):}$

$\mathtt{-x^2\ge -3x+10}\\\\ \mathtt{0\ge x^2-3x+10}\\\\ \mathtt{x^2-3x+10\le 0}\\\\ \mathtt{x^2-3x\le -10}$


Com o objetivo de completar o quadrado no lado esquerdo, somamos $\mathtt{\dfrac{9}{4}}$ aos dois lados da desigualdade:

$\mathtt{x^2-3x+\dfrac{9}{4}\le -10+\dfrac{9}{4}}\\\\\\ \mathtt{x^2-2\cdot \dfrac{3}{2}\cdot x+\left(\dfrac{3}{2}\right)^{\!2}\le \dfrac{-40}{4}+\dfrac{9}{4}}\\\\\\ \mathtt{\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^{\!2}\le -\,\dfrac{31}{4}}$


Da última desigualdade acima, concluímos que deve-se ter necessariamente

$\mathtt{\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^{\!2}<0}$


o que é impossível de acontecer nos reais (o quadrado de um número nunca é negativo)


Sendo assim, a solução para a inequação $\mathtt{(II)}$ é o conjunto vazio:

$\mathtt{S_{(II)}=\varnothing.}$

_________

A solução do sistema é a interseção das duas soluções:

$\mathtt{S=S_{(I)}\cap S_{(II)}}\\\\ \mathtt{S=S_{(I)}\cap \varnothing}\\\\ \mathtt{S=\varnothing}$


O sistema não possui solução.


Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :-)