Question

Limite por L'Hospital

lim ((raiz (9-x) - 3) / x ) quando x tende a 0

Answer 1

Queremos calcular o seguinte limite:

$L=\displaystyle\lim_{t\to 0}~\frac{\sqrt{9-t}-3}{t}$


Temos uma indeterminação do tipo 0/0. Então, vamos usar a regra de L'Hospital:

(se o limite abaixo existir, então)

$L=\displaystyle\lim_{t\to 0}~\frac{\frac{d}{dt}(\sqrt{9-t}-3)}{\frac{d}{dt}(t)}\\\\\\ =\lim_{t\to 0}~\frac{\frac{d}{dt}((9-t)^{1/2}-3)}{\frac{d}{dt}(t)}$


Para derivar o numerador, usamos a regra da derivada da potência, combinada com a Regra da Cadeia:

$=\displaystyle\lim_{t\to 0}~\frac{\frac{1}{2}(9-t)^{(1/2)-1}\cdot \frac{d}{dt}(9-t)}{\frac{d}{dt}(t)}\\\\\\ =\displaystyle\lim_{t\to 0}~\frac{\frac{1}{2}(9-t)^{-1/2}\cdot (-1)}{1}\\\\\\ =\lim_{t\to 0}~-\frac{1}{2}(9-t)^{-1/2}\\\\\\ =\lim_{t\to 0}~-\,\frac{1}{2\sqrt{9-t}}\\\\\\ =-\,\frac{1}{2\cdot \sqrt{9-0}}\\\\\\ =-\,\frac{1}{2\cdot 3}\\\\\\ =-\,\frac{1}{6}\quad\quad\checkmark$


Logo,

$\boxed{\begin{array}{c}\displaystyle\lim_{t\to 0}~\frac{\sqrt{9-t}-3}{t}=-\,\frac{1}{6} \end{array}}$


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Bons estudos! :-)