Question

TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO:
O perímetro do triângulo isósceles da figura é igual a 64 m e o cos α= 7/25
A. Calcule a e b.
B. Determine a área do triângulo.

Answer 1

Olhando pra um dos triângulos retângulos:

$cos~x=cateto~adjacente/hipotenusa\\cos~\alpha=(a/2)/b\\cos~\alpha=(a/2)*(1/b)\\cos~\alha=a/(2b)\\7/25=a/(2b)\\7*2b=25*a\\14b=25a$

O perímetro do triângulo é 64 m. Como o perímetro é a soma de todos os lados:

$2P=64~m\\b+b+a=64\\2b+a=64$

Multiplicando todos os membros por 7:

$7*2b+7*a=7*64\\14b+7a=7*64$

Como descobrimos que 14b = 25a:

$25a+7a=7*64\\32a=7*64\\1*a=7*2\\a=14~m$

$14b=25a\\14b=25*14\\1*b=25*1\\b=25~m$

Podemos calcular a área do triângulo dessa fórmula:

$\boxed{A=\dfrac{a*b*sen~\alpha}{2}}$

Temos o cosseno do ângulo e precisamos do seno. Podemos usar a relação fundamental da trigonometria pra encontrar o seno do ângulo:

$sen^{2}\alpha+cos^{2}\alpha=1\\sen^{2}\alpha=1-cos^{2}\alpha\\sen^{2}\alpha=1-(7/25)^{2}\\sen^{2}\alpha=1-(7^{2}/25^{2})\\sen^{2}\alpha=(1/1)-(49/625)$

O m.m.c entre 1 e 625 é 625:

$sen^{2}\alpha=(625-49)/625\\sen^{2}\alpha=576/625\\sen~\alpha=\sqrt{576/625}\\sen~\alpha=\sqrt{576}/\sqrt{625}\\sen~\alpha=24/25$

$A=\dfrac{a*b*sen~\alpha}{2}\\\\\\A=\dfrac{14*25*\dfrac{24}{25}}{2}\\\\\\A=7*25*\dfrac{24}{25}\\\\\\A=7*24\\A=168~m^{2}$