Question

ao observar os ponteiros de um relógio, um aluno de trigonometria observou o horário de 14:30 minutos. Disse que os ponteiros marcavam o menor ângulo com 120 graus, alegando que os ponteiros ocupavam a terça parte de uma circunferência, que mede 360 graus.

Este aluno está correto em sua afirmação? Justifique sua resposta.

Answer 1

Vamos lá.

Não. Não está correto esse aluno de trigonometria, ao informar que o relógio que estava marcando 14h 30min formava um ângulo menor igual a 120º.
Veja  a razão pela qual estamos afirmando isso.
Note que há uma regra bem prática (e segura) para calcularmos o ângulo formado pelos ponteiros de um relógio (ou o menor ângulo ou o maior ângulo).
Esta regra prática resume-se em utilizar-se a seguinte fórmula:

α = |11m - 60h|/2

Na fórmula acima temos que "α" é o ângulo formado pelos ponteiros do relógio (que tanto poderá ser o maior ou o menor ângulo). Por sua vez "m" é a quantidade de minutos, que substituiremos por "30" (já que o horário é 14h 30min). Por seu turno, "h" é a quantidade de horas, que substituiremos por "14" (já que o horário é 14h 30min).
Assim, fazendo essas substituições, teremos;

α = |11*30 - 60*14|/2
α = |330 - 840|/2
α = |-510]/2 ----- veja que |-510| = 510. Logo:
α = 510/2
α = 255º <--- Este é o maior ângulo formado pelos ponteiros de um relógio que estiver marcando 14h 30min.

Para encontrar o menor basta que façamos a subtração de 360º. Assim, o menor ângulo formado por um relógio que estiver marcando 14h 30min será:

α = 360º-255º
α = 105º <--- Este será o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio que estiver marcando 14h 30min.

Por isso é que o aluno está errado ao afirmar que o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio que estivesse marcando 14h 30min seria de 120º.

Agora veja esta observação, que é importante: se o ângulo encontrado for menor que 180º, então esse ângulo será o menor; contudo, se o ângulo encontrado for maior que 180º, então esse ângulo será o maior. Como o ângulo que encontramos foi de 255º (portanto maior que 180º), então ele é o maior. E, para encontrar o menor, fizemos a subtração de 360º, ou seja, fizemos: 360º-255º = 105º.
Sintetizando, teremos:

α < 180º -----> ângulo menor.
α > 180º -----> ângulo maior.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.