Question

(50 PONTOS) A figura em anexo mostra um quadrado ABCD inscrito a um setor circular de raio $r,$ cujo ângulo de abertura mede $x$ ($0<x\le \pi$).

Sabendo que a base CD é paralela à reta horizontal $t,$ obtenha uma expressão para a área do quadrado ABCD (em função de $r$ e $x$).

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Resposta: $A=\dfrac{4r^2}{1+\left(2+\mathrm{cotg}\,\frac{x}{2}\right)^{\!2}}$

Answer 1

Veja as imagens para compreender a notação
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Vamos encontrar os ângulos internos do triângulo (isósceles) $\mathrm{CDO}$:

$a+a+x=\pi~~\Leftrightarrow~~2a+x=\pi~~\Leftrightarrow~~2a=\pi-x~\Leftrightarrow~\boxed{\boxed{a=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{x}{2}}}$

Agora, vamos achar a altura desse triângulo:

$\mathrm{tg}\,a=\dfrac{h}{(\frac{\ell}{2})}~~\Leftrightarrow~~h=\dfrac{\ell}{2}\,\mathrm{tg}(\frac{\pi}{2}-\frac{x}{2})$

Porém, temos a seguinte identidade:

$\mathrm{tg}(\frac{\pi}{2}-\frac{x}{2})=\mathrm{cotg}\,\frac{x}{2}$

Daí:

$\boxed{\boxed{h=\dfrac{\ell}{2}\,\mathrm{cotg}\bigg(\frac{x}{2}\bigg)}}$

Note que $\overline{RB}=\overline{RC}+\overline{CB}=h+\ell=\dfrac{\ell}{2}\mathrm{cotg}\,\frac{x}{2}+\ell=\dfrac{\ell}{2}(2+\mathrm{cotg}\,\frac{x}{2})$

Olhando para o triângulo $\mathrm{BOR}$, temos, pelo Teorema de Pirágoras:

$(\overline{RB})^{2}+(\overline{RO})^{2}=(\overline{OB})^{2}\\\\\\\bigg[\dfrac{\ell}{2}(2+\mathrm{cotg}\,\frac{x}{2})\bigg]^{2}+\bigg[\dfrac{\ell}{2}\bigg]^{2}=r^{2}\\\\\\\dfrac{~\ell^{2}}{4}(2+\mathrm{cotg}\,\frac{x}{2})^{2}+\dfrac{~\ell^{2}}{4}=r^{2}\\\\\\\dfrac{~\ell^{2}}{4}\bigg[1+(2+\mathrm{cotg}\,\frac{x}{2})^{2}\bigg]=r^{2}\\\\\\\ell^{2}=\dfrac{4r^{2}}{1+(2+\mathrm{cotg}\,\frac{x}{2})^{2}}$

Portanto, encontramos uma expressão para a área do quadrado, uma vez que $A=\ell^{2}$

$\boxed{\boxed{A=\dfrac{4r^{2}}{1+(2+\mathrm{cotg}\,\frac{x}{2})^{2}}}}$