Question

o volume do solido girando se em relaçao ao eixo y, a regiao limitada pelas y=0,x=4,y=6,y=2x+2 e?

Answer 1

O volume será rotacionado ao longo do eixo y.

Então, deveremos calcular a integral do tipo 2:

Vamos isolar x na equação

y = 2x +2

y - 2 = 2x

x = y/2 - 1
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$\\ V = \pi \int\limits^d_c {F(y)^2} \, dy \\ \\ V = \pi \int\limits^6_4{( \frac{y}{2}-1)^2 } \, dy$

Fazendo y/2 -1 = u

u = y/2 -1

du/dx  = 1/2

2du = dx
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Mudando os limites de integração:

u = y/2 - 1

Para y = 4

u = 4/2 -1

u = 1

Para y = 6

u = y/2 -1

u = 6/2 -1

u = 2
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Então:


$\\ V = \pi \int\limits^2_1{u^2} \, 2du \\ \\ V = 2 \pi . \frac{u^3}{3} |(1,2) \\ \\ V = 2 \pi .( \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} ) \\ \\ V = 2 \pi ( \frac{7}{3} ) \\ \\ V = \frac{14 \pi }{3} u.v$